Teoría del Caos 2005 | INICIO
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Teoría del Caos | Chaos Theory

Poema folclórico británico:
"Por un clavo se perdió la herradura
Por una herradura se perdió el caballo
Por un caballo se perdió el jinete
Por un jinete se perdió la batalla
Por una batalla se perdió el reino"

Conclusión:
Por un clavo se perdió el reino.
Eso es Teoría del Caos.

.....A comienzos de los '60s muchos científicos motivados por las alteraciones climáticas y el incremento del CO2 en la atmósfera, se abocaron al modelamiento del clima. Uno de ellos fue el Meteorólogo Edward Lorenz, científico del MIT, quien en 1963 utilizó el sistema de ecuaciones diferenciales de "Navier-Stokes" para modelar la evolución del estado de la atmósfera:

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Artículo: Deterministic nonperiodic flow, en el
Journal of Atmospheric Sciences 20:69 (1976)

Donde:
x = razón de rotación del sistema
y = gradiente de temperatura
z = desviación de la temperatura
d = Número de Prandtl: [viscosidad] / [conductividad térmica]
r = diferencia de temperatura entre la base y el tope del sistema
b = razón entre la longitud y altura del sistema

Los torbellinos grandes tienen torbellinitos
que se nutren de su velocidad
Y los torbellinitos tienen torbellinititos
Y así hasta la viscosidad.

Lewis F Richardson

A partir de cierta condición inicial ( Xo Yo Zo ) se puede utilizar el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para dibujar la trayectoria correspondiente en el espacio de fase 3D, obteniéndose la siguiente figura conocida como "Atractor de Lorenz":


Nota: el Atractor de Lorenz es una figura geométrica similar a una mariposa
y que para ser contenida necesita más de dos dimensiones y menos de tres
(2.06), por lo tanto es un fractal. (el inverso del exponente de Hurst es igual a la
dimensión fractal de una serie de tiempo).

... El método numérico de resolución exige utilizar los datos XYZ en t = n-1 para obtener estos mismos datos en t = n. Para tranquilidad de Lorenz, los datos obtenidos numéricamente fueron iguales a los esperados durante varios días seguidos, hasta que una mañana decidió que tenía que ahorrar papel y tiempo (estamos hablando de una computadora Royal McBee de los años 60), así que utilizó tres decimales en los datos de entrada en lugar de seis... y ahí fue cuando apareció el caos: La trayectoria en el Espacio de Fase comenzó a seguir una ruta muy distinta respecto de la tendencia original, lo cual era realmente novedoso. Un pequeño margen de error en los datos de entrada nos puede llevar a pronosticar nevazones en verano, y de hecho, esto podría llegar a ocurrir en el mundo real. Hasta ese entonces, los Físicos estaban acostumbrados a ver que una pequeña diferencia en los datos de entrada tenía que provocar una pequeña diferencia en los datos de salida. Por ejemplo, para conseguir el alcance máximo de un proyectil, se requiere que el ángulo sea igual a 45.000...°, pero nadie se preocupa de los diez decimales siguientes y no parece lógico exigir tal nivel de precisión. Pero existen sistemas extremadamente sensibles a las condiciones iniciales, como el tiempo atmosférico, donde dos puntos infinitesimalmente cercanos en el Espacio de Fase pueden seguir trayectorias totalmente distintas. Como el margen de precisión tecnológico siempre va a ser muchísimo mayor que el concepto matemático de "diferencial", se concluye que es imposible realizar una predicción meteorológica confiable a largo plazo. A pesar de todo, las trayectorias tienden a concentrarse en ciertas zonas ("Atractores") , de modo que sí es posible pronosticar el comportamiento GLOBAL o estadístico del sistema (ej: calor en verano y frío en invierno, los dos lóbulos del atractor de Lorenz). Observemos además que una diferencia infinitesimal en las condiciones iniciales se puede ilustrar con un sistema A de control v/s el mismo sistema A más una mariposa batiendo sus alas. Dado que ya sabemos que las trayectorias en el Espacio de Fase pueden llegar a ser muy distintas, podemos afirmar que una mariposa que bate sus alas en Hong Kong puede llegar a "provocar" un tornado en Kansas ("Efecto Mariposa").

El Universo Holográfico y la Conexión Aurea
Según el viejo paradigma mecanicista (S XVII) el todo es simplemente la suma o agregación de las partes, de un modo análogo a un mecanismo de relojería. En palabras de Isaac newton: "El Universo es simplemente una gigantesca máquina". Por otro lado, el relativamente nuevo paradigma de la Teoría de Sistemas (S XX) reconoce las sinergias entre las partes. Luego, el todo es mayor que la suma de sus partes: cuando las partes se reúnen, aparecen conexiones entre ellas, lo que que genera la aparición de nuevas propiedades:
i) El ser humano no es igual a la simple agregación de sus órganos. El bienestar físico depende de un equilibrio armónico entre todos los órganos del cuerpo humano y no de lo que le ocurre a uno solo. Cuando tomamos una aspirina, esta se disuelve en la sangre, afectando de este modo a todo el cuerpo.
ii) Si se junta un gas tóxico (el cloro) con un metal (el sodio) se genera una sustancia que le da "buen sabor" a la carne: la sal. Las propiedades de la sal no tienen ninguna relación con las de un gas tóxico ni con las de un metal.

... Investigaciones más recientes (ej: estudio de hadrones en Física de Partículas) llevan la hipótesis sistémica a niveles aún más complejos: el de la parte conteniendo al todo ("holones"). Por ejemplo, en el caso de los fractales regulares, tenemos que estos conservan sus propiedades (e incluso su aspecto visual) frente a los cambios de escala.

... La hipótesis del "Universo Holográfico" nos dice que la información de todo el universo está contenido en cualquier subconjunto de éste. Por lo tanto, tendría que ser posible reconstruir el universo completo a partir de un simple microbio. En otras palabras: las partes son reproducciones a escala del todo, o también: el todo está contenido en cada una de sus partes, al igual que en un holograma. Si fragmentamos en varias partes la placa de un holograma, ocurrirá que cada sección tendrá la facultad de reproducir por sí misma la imagen original. Una idea similar se esboza en el Sutra Avatamsaka (Siglo ~ V AC):

En el cielo de Indra hay una red de perlas de tal forma ordenadas que si miras a una, ves a todas las demás reflejadas en ella. Del mismo modo, cada objeto del mundo no es sólo él mismo, sino que incluye a todos los demás objetos y es, de hecho, todos los demás [...Y dentro de la Torre de Indra...] hay también cientos de miles de torres [o Universos], cada una de las cuales está tan exquisitamente adornada como la Torre principal misma y tan espaciosa como el cielo. Y todas estas torres, más allá de lo que en número podría calcularse, no se molestan en absoluto unas a otras; cada una preserva su existencia individual en perfecta armonía con todo el resto; no hay aquí nada que impida a una torre estar fusionada con todas las demás individual y colectivamente; hay un estado de perfecta entremezcla y, sin embargo, de perfecta ordenación. Sudhana, el joven peregrino, se ve él mismo en todas las torres y en cada una de ellas, donde el todo está contenido en cada una y cada una está contenida en el todo.

... La hipótesis que dice que la parte contiene al todo se puede expresar matemáticamente:

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Queremos que la parte sea una reproducción a escala del todo, es decir:

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La ecuación a resolver es: x2 - x - 1 = 0
como x > 0:

Este número es denominado "Phi" en honor del arquitecto griego Phidias y durante el Renacimiento se conoció como "Número Aureo" o "Divino", dado que los griegos lo dedujeron a partir de exigencias que fusionan filosofía, religión y matemáticas.

Según los griegos, el rectángulo perfecto es el áureo:

EL PRINCIPIO HOLOGRÁFICO
i) Agujeros negros
- Según Shannon, la información se puede medir mediante la "entropía informática", magnitud directamente proporcional a la cantidad de bits y a la "entropía termodinámica"
- La entropía termodinámica de un agujero negro es igual a:

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(Jacob Bekenstein)

- Observemos que la entropía de un agujero negro es proporcional a su superficie. Además, los agujeros negros son los objetos con la mayor entropía posible.
COROLARIO: La información almacenada por un agujero negro es proporcional a su superficie
- Aquí conviene señalar que se necesita de cuatro áreas de Planck (~ 2.61*10-66 cm2) para escribir un bit sobre la superficie de eventos de un agujero negro

ii) Paradoja Holográfica
La información contenida en microchips es directamente proporcional a la cantidad de microchips. Esto nos permite ilustrar que en condiciones normales la información es directamente proporcional al volumen. Corolario: La información es una cantidad extensiva (al igual que la masa). Sin embargo, si se aumenta la densidad de materia, ese conjunto de microchips puede convertirse en un agujero negro, llegándose a la paradoja de que la información original puede codificarse en la superficie de eventos (y no el volumen de los microchips). Por lo tanto, en este caso extremo, la información deja de ser un cantidad extensiva: TODA la información 3D puede codificarse en 2D. Luego...


¿Qué nos asegura que nuestra percepción de estar
viviendo en un espacio 3D no sea más que una ilusión?

Principio Holográfico
Se puede conseguir una descripción completa de lo que ocurre dentro de un cuarto (3D) , con sólo describir lo que le ocurre a los muros (2D).






* La Serie de Fibonacci...
... Leonardo de Pisa, alias Fibonacci (siglo XIII), viajó por asia Menor y se contactó con los matemáticos más grandes de la época. Gracias a ellos se percató de que muchos fenómenos naturales se pueden modelar con la siguiente serie:

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La serie arroja los siguientes valores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

EJEMPLOS

i) Piñón de pehuén

ii) Concha de nautilus

iii) Galaxia espiral

iv) Ejemplo biológico
Un microbio demora una hora en madurar y una hora en reproducirse por mitosis. Luego, la cantidad de microbios en función del tiempo será:

t
n
0
0 (comienza el experimento)
1
1(se coloca un microbio "A")
2
1 (microbio A maduro)
3
2 (microbio A + su descendencia)
4
3
5
5
6
8, etc

Grafiquemos ahora Q = x(t) / x(t-1) con t >= 2:

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¿HACIA QUÉ NÚMERO TIENDE LA SERIE?

¿Casualidad?
Si el Universo nos quisiera decir algo, ¿En qué lenguaje lo haría?
Respuesta de Galileo: "El Universo está escrito en lenguaje matemático".
Según el astrónomo James Jeans: "Más que una gran máquina, el universo parece ser un gran pensamiento"


CARACTERIZACIÓN DEL CAOS
... La Teoría del Caos permite deducir el orden subyacente que ocultan fenómenos aparentemente aleatorios. Se sabe que ecuaciones totalmente deterministas (como el set de Lorenz) presentan las siguientes características que definen el Caos:
i) Son deterministas, es decir:
- Existe una "ley" que gobierna la conducta del sistema (¿Qué es lo contrario de "determinista"? ¿"Aleatorio" o "con libre albedrío"? ¿Existe el Libre Albedrío para las Ciencias Duras o es sólo una ilusión?)
- El fenómeno se puede expresar por "comprensión" en lugar de hacerlo por "extensión"
- Existe una simulación de menor tamaño (Kb) que el sistema original que permite generar los mismos datos observados
... Cabe señalar que según Chaitin (1994) un sistema es aleatorio cuando el algoritmo que genera su propia serie ocupa más Kb que el sistema original (por lo tanto, lo más eficiente es expresar el sistema por "extensión" y no por medio de un algoritmo)
ii) Son muy sensibles a las condiciones iniciales:
- Una desviación infinitesimal en el punto de inicio provoca una divergencia exponencial en la trayectoria del Espacio de Fase, lo que se puede cuantificar con el "Exponente de Lyapunov"
- La extrema sensibilidad a las condiciones iniciales implica que el comportamiento del sistema se indetermina a partir de cierto "Horizonte de Predicitibilidad", dado que la incerteza tecnológica asociada a los datos de entrada siempre va a ser mayor que el concepto de "infinitesimal matemático"
- A pesar de la impredictibilidad de una trayectoria particular del Espacio de Fase, se pueden encontrar "Atractores" o zonas del Espacio de Fase que tienden a ser "visitadas" con mayor frecuencia que otras.
NOTA: Normalmente la trayectoria en el Espacio de Fase de un sistema caótico genera una curva fractal (de dimensión fraccionaria)
iii) Parecen desordenados o aleatorios, pero en el fondo no lo son:
- Siguen ecuaciones deterministas
- Presentan Atractores

... Un ejemplo de ecuación determinista pero caótica es:

... Se puede ilustrar el Efecto Mariposa comparando los gráficos que resultan cuando se utilizan las siguientes condiciones iniciales:
Sistema A: Xo = 0.3999
Sistema A + una mariposa: Xo = 0.400000 (apenas una diez milésima de diferencia)

... Algunas herramientas matemáticas que permiten estudiar el caos son:
i) Exponente de Hurst (H)
Es un número que indica el grado de influencia del presente sobre el futuro (grado de similitud del fenómeno con el "Movimiento Browniano" o "Caminante Aleatorio").
Posibilidades:
- H > 0.5: sistema persistente (correlación positiva). Ej: si H = 0.7, entonces existe una probabilidad de 70% de que el siguiente miembro de la serie exhiba la misma tendencia que la del miembro actual.
- H = 0.5: sistema aleatorio (correlación nula o "ruido blanco")
- H < 0.5: sistema antipersistente (correlación negativa)
ii) Mayor Exponente de Lyapunov (L)
Es una estimación de la máxima razón de divergencia entre dos trayectorias del Espacio de Fase cuyas condiciones iniciales difieren infinitesimalmente. Las unidades son bits por unidad de tiempo (en base 2) y se calcula con el algoritmo de Wolf.
Posibilidades:
- L < = 0: serie periódica
- L > 0: serie caótica
- L ---> oo : serie aleatoria

"[Que las trayectorias del espacio de fase tengan] dependencia sensitiva de las condiciones iniciales significa que tienen tendencia a apartarse de las trayectorias cercanas"

James Gleick

iii) Complejidad relativa de Lempel Ziv (LZ)
Es una estimación del grado de complejidad algorítmica que tendría que presentar una simulación capaz de representar fielmente el fenómeno. Se calcula mediante el algoritmo de Kaspar y Schuster.
Posibilidades:
LZ = 1.0: máxima complejidad (serie aleatoria)
LZ = 0.0: serie perfectamente predecible
iv) Entropía Informática
Es una indicación del grado de desorden de los datos y se calcula sumando todos los exponentes de Lyapunov positivos en base e (algoritmo de Grassberger y Procaccia)

Fin de la Serie

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* 05 Oct 06 - Lorenz y Teoría del Caos
Muy buena web... Referente al tema del caos.. creo que omitieron algo muy relevante y es que Lorenz era Meteorólogo, Licenciado en Meteorología, Master y luego PhD, siempre en Meteorología. Eso aclara muchas cosas y da peso a lo que es la Meteorología, sus logros y los hombres que en ella investigan.
Rubén-Surfer

Es correcto lo que dices. Muchos avances en una ciencia determinada fueron realizados por personas valientes de otra especialidad. Decimos "valientes" porque hombres creativos e ingeniosos como Lorenz, Wegener, Edison, etc experimentaron problemas por celos profesionales debido a que los supuestos "especialistas" resultaron no ser tan creativos e ingeniosos como ellos. Sus ideas innovadoras sacudieron el stablishment, lo que evidentemente puso en alerta a los que profitan con su existencia.
Gracias a tu comentario hemos corregido la omisión.




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