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INDICE
ElectroMagnetismo - Versión 3.1 | Registro de Propiedad Intelectual nº 154.044

Parte 1: Introducción al Electromagnetismo: pág 1

* Capítulo 1: Introducción: 1
* Capítulo 2: Recapitulación del Electromagnetismo de acuerdo con la Enseñanza Media: 6
- Teoría: 6
- Ejercicios Resueltos: 12
- Ejercicios Propuestos: 17

Parte 2: Campo Eléctrico: pág 20
* Capítulo 3: Interacciones entre cargas eléctricas: 20
- Teoría: 20
- Ejercicios Resueltos: 23
- Ejercicios Propuestos: 27
* Capítulo 4: Campo Eléctrico: 28
- Teoría: 28
- Ejercicios Resueltos: 35
- Ejercicios Propuestos: 44
* Capítulo 5: Potencial electrostático: 47
- Teoría: 47
- Ejercicios Resueltos: 54
- Ejercicios Propuestos: 60
* Capítulo 6: Condensadores y Dieléctricos: 62
- Teoría: 62
- Ejercicios Resueltos: 67
- Ejercicios Propuestos: 71
* Capítulo 7: Circuitos eléctricos en CC: 73
- Teoría: 73
- Ejercicios Resueltos: 82

- Ejercicios Propuestos: 92

Parte 3: Campo Magnético: pág 96
* Capítulo 8: Fuerza Magnética y Campo Magnético: 96
- Teoría: 96
- Ejercicios Resueltos: 106
- Ejercicios Propuestos: 113
* Capítulo 9: Inducción Electromagnética: 116
- Teoría: 116
- Ejercicios Resueltos: 120
- Ejercicios Propuestos: 125
* Capítulo 10: Circuitos de CA: 126
- Teoría: 126
- Ejercicios Resueltos: 137
- Ejercicios Propuestos: 140

Parte 4: Ondas EM: pág 142
* Capítulo 11: Propagación de la luz: 142
- Teoría: 142
- Ejercicios Resueltos: 155
- Ejercicios Propuestos: 163
* Capítulo 12: Ecuaciones de Maxwell: 165
- Teoría: 165
- Ejercicios Resueltos: 185
- Ejercicios Propuestos: 193

ANEXOS: pág 104
Anexo 1: Prospección Eléctrica: 195
Anexo 2: Prospección Magnética: 203
Anexo 3: Membranas Biológicas: 212
Anexo 4: ¿Para qué estudiar Física?: 220

 

PRESENTACIÓN
Con este libro, el segundo de la Serie de Manuales de Física Aplicada, entregamos formularios, teoría y ejercicios de Electro-magnetismo, los que se exponen en un estilo, secuencia y desarrollo diseñados estratégicamente para conseguir la mayor comprensión posible de un modo directo y eficiente. Nada ha sido dejado al azar. Cada ejercicio condensa en pocas líneas muchos conceptos diferentes e interrelacionados. Así es como favorecemos el "Aprender Haciendo" (Constructivismo). Muchos ejercicios corresponden realmente a resultados que podríamos llamar "clásicos", en el sentido de que forman parte de la teoría y/o aplicaciones científicas populares (biofísica, obras civiles, etc.). Por lo tanto, no se preocupe si los encuentra difíciles, dado que se necesitó del esfuerzo de muchos científicos para llegar a lo que nos puede parecer una sencilla fórmula, ecuación o aplicación. 

 

NT2 Labs
The Geophysics Team
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PARTE 1: Introducción al Electromagnetismo

 

CAPÍTULO 1: Introducción

1.1 La Física: Modelos y Aproximaciones
...Como seres racionales que somos, estamos motivados naturalmente a enmarcar dentro de leyes y reglas cualquier tipo de experiencia. Cada conjunto de leyes está estructurado de acuerdo con cierto punto de vista: necesitamos una referencia para poder especular. El refinamiento de esas leyes proporciona una mayor claridad y nitidez a las observaciones, pero no debemos olvidar que las leyes están condicionadas por la referencia. Pero, en principio, esto tiene que ser así. Si queremos entender las cosas debemos dar el primer paso y esto exige interpretar lo que vemos desde una referencia específica. Siempre debemos recordar que nuestras conclusiones son sólo aproximaciones, las cuales se pueden refinar y conectar con la sabiduría proveniente de otros puntos de vista, obteniendo de este modo "Ciencias Híbridas": BioFísica, FísicoQuímica, GeoFísica, etc. Así es como el punto de vista inicial puede evolucionar en nitidez y amplitud.

NOTA: El conocimiento científico no se vuelve OBSOLETO ni es SUSTITUÍDO por uno nuevo. Así no funciona la Ciencia. El nuevo conocimiento siempre resulta ser una MEJOR APROXIMACIÓN que el conocimiento anterior. En otras palabras, el nuevo conocimiento ABSORBE al conocimiento antiguo y puede convertirse en éste último si se "relajan" las condiciones, del mismo modo como la Relatividad de Einstein puede convertirse en Mecánica Clásica si las rapideces son "bajas".

1.2 El Origen de la Física Clásica
Hace treinta siglos, los sabios de Occidente querían entender el universo globalmente para vivir en armonía con el orden natural de las cosas. Para ellos no existía división entre la religión y la ciencia, lo que ilustra un esfuerzo por entender la naturaleza más profunda de todo lo que existe. De todas las escuelas de pensamiento griego, la Física Clásica (Mecánica y Electromagnetismo) se deriva de las ideas atomistas de Leucipo y Demócrito (Siglo V AC), donde se marca una clara distinción entre el mundo material (FISIS) y el mundo mental (PSIQUIS).

El punto de vista clave de la Física Clásica es el ATOMISMO, o la creencia de que la materia está formada por "ladrillos básicos" microscópicos e indivisibles, denominados ÁTOMOS. Posteriormente la Mecáncia Cuántica demostraría que tales ladrillos no existen como ladrillos, sino más bien como "potencialidades".

El atomismo guió los pasos de la Ciencia Occidental hasta el siglo XX: el sucesivo refinamiento de la Teoría Atómica terminó por demostrar sus propias limitaciones con la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica, las que nos entregan una visión más nítida y más amplia... pero ésto siempre será una APROXIMACIÓN:
- "Supongamos que el roce es despreciable"
- "Supongamos que la gravedad de Júpiter no influye en lo que se hace en la Tierra"
- "Supongamos que las cargas y las masas son puntuales", etc.

Aristóteles sistematizó y organizó el conocimiento científico de la antigüedad y su criterio (basado en la contemplación de Dios) dominó el pensamiento de Occidente durante la Edad Media.

1.3 Las bases de la Física Clásica
Durante el Renacimiento, la cultura occidental comenzó a desviarse de las directrices aristotélicas. Surgieron personas que efectuaban experimentos para comprobar la validez de sus especulaciones. Por primera vez se abandonaban los dogmas y comenzaba a surgir la Ciencia Moderna.
Se considera a Galileo (S XVI) como el padre de la Ciencia Moderna debido a su habilidad sobresaliente para combinar el conocimiento experimental con las matemáticas. La influencia de los éxitos científicos de Descartes y de Newton promovieron el punto de vista mecanicista como la base para lo que se conoce como "Física Clásica".

* El punto de vista mecanicista visualiza cualquier sistema como un mecanismo de relojería: el todo es exactamente igual a la suma de las partes (no puede ser de otro modo... ¿o sí?). Luego, entendiendo las partes se puede entender el todo.
* Descartes promovió la creencia de que el ser humano es un "fantasma manejando una máquina" (la dualidad mente - cuerpo), al afirmar "Pienso, luego existo", como si el "fantasma" pudiera pensar en ausencia de una atmósfera.
* Isaac Newton explicó magistralmente como actúan las fuerzas, destacando su trabajo sobre la gravitación. Para ello tuvo que desarrollar nuevas herramientas matemáticas como el Cálculo Diferencial e Integral.

1.4 La Física Clásica
La Física Clásica funciona en un espacio tridimensional donde los objetos se pueden mover libremente en cualquier dirección y sentido. A esto se le agrega el tiempo (diferente del espacio) que siempre fluye uniformemente hacia el futuro. En este escenario se desarrollan los "guiones" protagonizados por partículas puntuales caracterizadas por sus masas y cargas eléctricas. Este fue el marco que soportó todo el edificio de la ciencia durante tres siglos.
La primera área del saber que se benefició con este punto de vista fue la Mecánica, desarrollada por Isaac Newton con sus Tres Leyes. Como lectura de fondo se observa la premisa de que el mundo puede ser descrito objetivamente (en el siglo XX se descubrió que el observador y el sistema observado no son independientes). Más tarde, Laplace utilizó la Mecánica Newtoniana para describir exitosamente el sistema solar. Su modelo está descrito en la obra "Mecánica Celeste".
El éxito de Laplace motivó a los Físicos a aplicar la Mecánica al movimiento de los fluídos y las vibraciones... y nuevamente triunfaron. En el siglo XIX se descubrió que incluso el calor se puede explicar mecánicamente (Termodinámica y Mecánica Estadística), dado que la temperatura mide el grado de agitación interna de las partículas que forman un sistema. Los triunfos experimentales retroalimentaron sucesivamente la validez del Método Científico.
A partir del siglo XVII, la simple aspiración filosófica de vivir en armonía con el orden natural se combinó con el colonialismo y la tecnología, y la ciencia comenzó a estar marcada por el deseo de dominar y controlar la naturaleza. Según Francis Bacon, la meta del científico es "torturar a la naturaleza hasta que revele todos sus secretos", lo cual no tendría nada de objetable, dado que el universo entero sería simplemente un gigantesco mecanismo de relojería.

1.5 El Método Científico
Los trabajos de los científicos de la Época Moderna fueron perfeccionando el Método Científico hasta que éste en el siglo XIX dio origen a la corriente filosófica conocida como "Positivismo" y que se basaba en una fe ciega en la ciencia.

* El Positivismo es la base ideológica del Método Científico.
* Para el Positivismo, el conocimiento es verdadero sólo si está de acuerdo con la experiencia.
* Para el Positivismo, si una proposición no se puede verificar experimentalmente, entonces pertenece a la Metafísica y debe ser rechazada por la Ciencia.

 

    El Positivismo se convirtió en la filosofía dominante de la gente culta y promovió la exaltación de las Ciencias Experimentales como el único medio capaz de garantizar el progreso de la humanidad.

    El corazón del Método Científico corresponde a contrastar las construcciones mentales con los hechos experimentales, de acuerdo con el siguiente esquema:

 

 

    El proceso se retroalimenta sucesivamente, lo que garantiza que en cada iteración estaremos más cerca de la verdad (mejores aproximaciones). Por ahora (Física Clásica) entenderemos por verdad a la equivalencia perfecta entre el conocimiento y el objeto del cual se habla. La Ciencia de por sí debe aceptar la existencia de la verdad... lo difícil es encontrarla.

 

 

COROLARIO: Si el Método Científico es imperfecto, tarde o temprano revelará sus fallas, debido a que es iterativo.
Es decir, debido a que posee un mecanismo de detección de autodepuración o de detección de errores (cosa que ocurrió a comienzos del siglo XX)

 

* El Positivismo es la base ideológica del Método Científico.
* Para el Positivismo, el conocimiento es verdadero sólo si está de acuerdo con la experiencia.
* Para el Positivismo, si una proposición no se puede verificar experimentalmente, entonces pertenece a la Metafísica y debe ser rechazada por la Ciencia.

 NOTA: La Mecánica Cuántica y la Relatividad obligaron a redefinir el concepto de VERDAD, debido a que "el objeto del cual se habla" es realmente una proyección mental del exterior (percepciones). La "equivalencia perfecta" sólo puede ser perfecta si se compara una idea con otra idea. En palabras del filósofo William James: "El conocimiento es verdadero sólo si funciona" (Pero las ILUSIONES también funcionan..)

 

El Método Científico se sustenta en "Las Tres R":
- Reduccionismo: el todo se explica en función de sus partes. En otras palabras: un problema grande puede ser solucionado al convertirlo en pequeños sub-problemas. A continuación se debe resolver cada subproblema. La solución global corresponde a la simple adición de las sub-soluciones, es decir "el todo es exactamente igual a la suma de las partes" (mecanismo de relojería).

- Refutación: el avance científico consiste en revisar iterativamente los modelos actuales para encontrar cada vez mejores aproximaciones. En otras palabras: el avance científico ocurre cuando se refuta una "verdad" previa.

- Replicación o Reproducibilidad: Las leyes científicas se consideran validadas cuando el experimento que las revela puede ser Replicado o Reproducido por cualquier Laboratorio.

Para problemas muy complejos el Método Científico se muestra ineficaz y "Las 3R" revelan sus imperfecciones. En esos casos es mejor complementarlo con "Teoría de Sistemas", "Teoría del Caos" y "Teoría de la Complejidad"... Y el todo deja de ser igual a la simple adición de las partes. Esto es debido a que las partes al combinarse pueden mostrar propiedades distintas (o "emergentes") respecto de la situación aislada. Por ejemplo, al combinar un metal (Na) con un gas venenoso (Cl) se obtiene un delicioso "saborizante": la SAL (NaCl).

 

 NOTA: Es interesante que el Reduccionismo lleve a explicar una cosa a partir de su opuesto: los objetos "sólidos" en el fondo son funciones de onda (Ej. una molécula cualquiera) y los campos físicos al final resultan ser partículas (Ej. el Campo EM y los fotones)

"Cuando los opuestos se llevan al límite se convierten en lo mismo"

Filosofía Zen

 

1.6 El ElectroMagnetismo
Los fenómenos electromagnéticos presentaron un desafío para los científicos del siglo XVIII debido a que sugerían la existencia de fuerzas desconocidas. Michael Faraday (S XIX) proporcionó la primera pista cuando consiguió convertir el movimiento de un imán en corriente eléctrica ("FEM inducida"). Su trabajo hizo posible el dínamo y los motores eléctricos modernos. La Teoría Electromagnética consiguió su culminación con los trabajos de Maxwell y sus cuatro ecuaciones sobre los "Campos Electromagnéticos". 
Previo a Maxwell se sabía que las cargas eléctricas generaban una fuerza de interacción de acuerdo con la Ley de Coulomb:

La expresión es análoga a la Ley de Gravitación Universal de Newton:

Pero aquí mismo terminan las semejanzas, dado que la gravedad clásica siempre es atractiva, a diferencia de la fuerza coulombiana que puede ser atractiva, repulsiva o nula.
Faraday y Maxwell abandonaron el modelo coulombiano de atracción entre cargas y lo sustituyeron por el concepto de CAMPO. Según este nuevo punto de vista, cada partícula (por el mero hecho de poseer carga eléctrica) crea una perturbación permanente en el espacio, la cual se expresa como una fuerza de interacción sólo cuando hay otra carga que pueda percibir la perturbación.

Desde la Referencia Newtoniana, las fuerzas estaban rígidamente ligadas a los cuerpos que las percibían. Ahora, con el nuevo concepto de CAMPO, los cuerpos interactuantes se volvían irrelevantes y el foco de atención pasaba a estar centrado en el espacio. Según Albert Einstein: "La materia está constituída por regiones del espacio donde el campo es extremadamente intenso (..) el campo es la única realidad".

NOTA: El Campo Electromagnético actúa DENTRO del escenario Espacio-Temporal de Newton. En cambio, el Campo Gravitatorio altera y deforma tanto el espacio como el tiempo.

Resumiendo, en el Electromagnetismo se tiene partículas puntuales caracterizadas por su "carga eléctrica", la que puede ser positiva o negativa. Cargas de igual signo se repelen y cargas de distinto signo se atraen (Ley de Coulomb). La base del ElectroMagnetismo corresponde al concepto de "Campo EléctroMagnético" y a las cuatro Ecuaciones de Maxwell. Aquí tenemos que por primera vez el concepto de Fuerza es sustituído por el concepto de "Campo". Desde este punto de vista se observa que las cargas eléctricas modifican ciertas propiedades del espacio, independiente de que haya o no otra carga que pueda percibir estas modificaciones. Por otro lado, las cargas en movimiento (corrientes) se comportan como imanes (Campo "Magnético"). Pero el movimiento es relativo, por lo que toda carga puede ser percibida como una corriente, de modo que lo que realmente importa es el "Campo ElectroMagnético" (CEM). Actualmente se sabe que la luz visible, los rayos X, las ondas de radio, etc. corresponden a CEMs que sólo difieren en su frecuencia o rapidez de vibración.

   Al finalizar el Siglo XIX se observaron esfuerzos por explicar los CEMs en función de vibraciones del "éter" (y convertir de este modo el Electromagne-tismo en Mecánica). La idea base era desarrollar un modelo similar a la forma como el sonido hace vibrar el aire. Sin embargo, el Método Científico refutó esta hipótesis con el experimento de Michelson y Morley (1887), lo que sentó el germen para la Teoría de la Relatividad de Einstein.

Cabe señalar que el ElectroMagnetismo es una "Teoría Realista Local", lo que significa que se realizan tres aproximaciones fundamentales:
- El término "Teoría" indica que no se duda de la inducción (o del empirismo) como el método por antonomasia para llegar a la verdad.
- El término "Realista" quiere decir que se asume que existe un mundo externo e independiente del observador.
- El término "Local" significa que como máximo las interacciones viajan a la rapidez de la luz (3x108m/s)

Otras aproximaciones:

i) Reglas Metafísicas
- La materia es distinta de la mente ("Pienso, luego existo")
- La materia está inmersa en el espacio y el tiempo fluye hacia el futuro a un ritmo uniforme
- El universo se guía por leyes escritas en lenguaje matemático y que pueden ser descubiertas mediante el Método Científico (Galileo)
- La explicación más sencilla tiende a ser la correcta ("Navaja de Ockham", acto de fe del que se burló Carl Sagan en "Contacto")
ii) Reglas de la Lógica Binaria
- De una hipótesis verdadera sólo se derivan conclusiones verdaderas
- La negación de la negación es la afirmación
- Las cosas no pueden estar en situaciones mutuamente excluyentes al mismo tiempo ("Principio de no contradicción")
iii) Reglas Matemáticas
- Transitividad (Si A= B y si B= C, entonces A= C)
- Reflexividad (A = A)
- Simetría (Si A= B, entonces B= A)
- El todo es exactamente igual a la suma de las partes (Reduccionismo o anti- sinergia)
- Un plano (2D) es un "array" de líneas (1D) y una línea es un "array" de puntos (0D).

 

 

Capítulo 2: Recapitulación de Electromagnetismo de acuerdo con las directrices del Ministerio de Educación para la Enseñanza Media

 

2.1 Electricidad
Constantes
e = carga del protón > 0
e = + 1.6* 10-19 C = carga mínima posible o "cuanto" de carga eléctrica
Carga del electrón: -e
1 Coulomb = 6.25*1018 cargas elementales
mp = masa del protón = 1.7*10-27 Kg
me = masa del electrón = 9*10-31 Kg
K = constante eléctrica = 9*109 Nm2/ C2

- Todo cuerpo posee cargas eléctricas
- Si el cuerpo tiene déficit de electrones, la carga neta es positiva
- Si el cuerpo tiene exceso de electrones, la carga neta será negativa
- Inducción electrostática: fenómeno por el cual un cuerpo puede adquirir carga eléctrica debido a la influencia de otro cuerpo cargado situado en su vecindario

Ley de Coulomb
La fuerza eléctrica generada por la carga 1 percibida por la carga 2 es:

2.2 Campo Eléctrico (CE)
- Líneas de fuerza o de Campo (eléctrico): son una representación gráfica del CE consistente en líneas que indican la dirección y sentido del CE en cada punto del espacio. Las líneas de campo se construyen de modo que el vector sea tangente a las líneas de campo. Además, las líneas de campo presentan la propiedad de que E es más intenso (mayor módulo) en aquellos lugares donde hay una mayor densidad de líneas.

A continuación se indican las líneas de campo para un arreglo de dos cargas, una positiva y la otra negativa:

- El CE en la posición percibido por la carga de prueba Q es:

donde es la fuerza eléctrica percibida por la carga de prueba en la posición .
- Para una carga puntual: E = KQ/r2 (dirección radial hacia dentro si Q < 0)
- Principio de Superposición: dado que el CE es un vector, debe cumplirse que:

* Conservación de la Carga Eléctrica
En un sistema aislado, la carga eléctrica se conserva:

2.3 Diferencia de Potencial
- Energía Potencial Eléctrica
Como las fuerzas eléctricas son conservativas:

W = trabajo realizado por las fuerzas eléctricas cuando hay un cambio en la posición de las cargas

Para las cargas puntuales i y j se cumple que:
U i j = K Qi Qj / ri j

- Potencial eléctrico (PE)
El PE en la posición y percibido por la carga de prueba Q es:


la carga Q al ser colocada en la posición

Unidad de Potencial Eléctrico: 1 Joule / Coulomb = 1 Volt
- Diferencia de Potencial

- Gradiente de Potencial y CE

- Energía de formación de un sistema formado por tres cargas:

U = U12 + U13 + U23

- Para un volumen esférico conductor cargado de radio R:

2.4 Corriente Eléctrica
- Intensidad de Corriente Eléctrica:

Por convención del siglo XIX, se define como el sentido de la corriente a aquel en que se tendrían que mover las cargas positivas en el conductor (se muevan o no realmente).
- La corriente provoca Electrólisis en un compuesto químico (separación de los elemen-tos constituyentes).
- La corriente (carga en movimiento) provoca campo magnético rotacional a lo largo del conductor
- La corriente se mide con un Amperímetro y se debe utilizar en serie
- La diferencia de potencial se mide con un Voltímetro y se debe utilizar en paralelo

2.5 Resistencia Eléctrica
- Ley de Ohm (conductores ideales):

- Resistividad:

2.6 Fuerza ElectroMotriz (FEM)
- FEM: es el trabajo por unidad de carga realizado por una fuente para mantener una diferencia de potencial dada entre sus terminales

- La diferencia de potencial entre los terminales de una fuente es: 

Donde
Ri = Resistencia interna de la fuente
I = Corriente que circula por la fuente

- Potencia Eléctrica y energía: Las resistencias disipan la energía eléctrica como calor. La potencia eléctrica (Watt) es igual a:

P = V I = R I 2 = Calor / t = Energía eléctrica / t

Energía eléctrica = Calor disipado = VQ = Pt = RI2 t

1 Joule = 0.24 Calorías

1 KW h = 3.6 * 106 J

2.7 Circuitos
- Circuito en Serie:

- Circuito en Paralelo:


2.8 Campo Magnético
- Brújula: Imán liviano equilibrado sobre un eje con roce despreciable.
- Campo Magnético: perturbación sufrida por el espacio debido a la presencia de un imán, lo que determina la aparición de fuerzas opuestas sobre los polos de una brújula.
- Magnetismo Terrestre:

- Intensidad del Campo magnético ( )

Unidad de :

Sentido de :

- "Ley de Ampere"
El CM a una distancia r de un conductor muy largo por el que circula una corriente i es:


2.9 Interacciones Magnéticas
- Fuerza magnética o de Lorenz sobre una carga puntual en movimiento: F = q v B

x
x

x

- Trayectoria de una carga en un CM
   La carga mostrada en la figura anterior describirá un movimiento circunferencial uniforme en el plano XY, donde el radio de la trayectoria será:

- En un selector de velocidades, las partículas que consiguen atravesar el colimador salen con la siguiente rapidez: v = E / B, donde E = campo eléctrico y B = campo magnético (ambos perpendiculares)

 

2.10 Inducción Electromagnética

- Flujo magnético atravesando una superficie A:

Donde  es la componente del CM perpendicular a la superficie.

- FEM inducida

Corresponde a la diferencia de potencial que se establece en un circuito cuando hay una variación del flujo magnético que atraviesa el área definida por el circuito.

- Ley de Faraday


2.11 Circuitos de Corriente Alterna

- Reactancia Resistiva: XR = VR / I

- Reactancia Capacitiva: XC = VC / I

- Reactancia Inductiva: XL = VL / I

- Impedancia de un circuito: corresponde a la resistencia eléctrica de un circuito cuando la corriente circulante es alterna.

Z = V(máx) / I(máx) = V(RMS) / I(RMS)

- Impedancia de un circuito en serie

NOTA: la impedancia y las reactancias dependen de w.

- Transformador

VS / VP = NS / NP

Donde

VS = Voltaje en el embobinado secundario

VP = Voltaje en el embobinado primario

NS = Número de espiras en el secundario

NP = Número de espiras en el primario

 

2.12 Ondas Electromagnéticas

- Relación fundamental para una onda:

v = l n

v = velocidad de propagación de la onda, m/s

l = longitud de onda, m

n = frecuencia de vibración, Hz

- Velocidad de la luz.

En el vacío: c = 300 000 Km/ s = 3*108 m/s

En el vidrio la luz se propaga más lentamente que en el aire.

- Luz visible

Su longitud de onda debe estar entre los 4500A° y los 6100 A° ( 1 Å = 10 -10 m )

Luz infrarroja: l > 6100 A° (invisible)

Luz amarilla: l » 5300 A°

Luz ultravioleta: l < 4500 A° (invisible y muy energética)

- Fotón: partícula de luz de acuerdo con la mo-derna concepción dual (onda/ partícula) de las Ondas Electromagnéticas. Según Planck, la ener-gía transportada por un fotón es E = hn , donde

h = 6.63* 10 -34 Js = cte de Planck.


- Campo Eléctrico Inducido:  CE generado por un Campo Magnético variable. Las líneas de Campo Eléctrico  son rotatorias (líneas de fuerza cerradas).

- Campo Magnético Inducido

  CM generado por un CE variable. Las líneas de CM son rotatorias.

- Onda Electromagnética

   Propagación en el espacio de CE y CM varia-bles debido a una sucesión de inducciones pro-venientes de cargas eléctricas aceleradas.

Toda OEM es luz (visible o invisible)

 

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Ley de Coulomb

Dado el siguiente diagrama:

 

Encuentre:

a) La intensidad de la fuerza eléctrica

b) El sentido de la fuerza eléctrica que actúa sobre Q2

R:
a)
 

b) Q2 es atraído por Q1. Luego, el sentido de F12  es hacia la izquierda.

 

2) Campo Eléctrico

Dado el siguiente arreglo de cargas:

Encuentre el campo eléctrico en el origen.

R:

El vector  tiene una magnitud de 160 200 N/C y una orientación de 69.4° bajo la horizontal.

3) Diferencia de Potencial

Una esfera conductora de 10 cm de radio está cargada a 20 000 V. Al acercarse a un muro, se descarga totalmente. Encuentre la energía liberada en el chispazo.

R:

 

Referencia: nube liberando un rayo
* V
~ 500 MV

* I ~ 100 KA

* Rapidez del rayo (de los electrones):  ~ c/2

 

4) Corriente Eléctrica

  Por un conductor cilíndrico muy largo se observa que en medio segundo pasa 0.1 mC de carga en un área igual a 1 cm2.

   Encuentre la corriente que circula por el conductor si r = 5 cm.


R:

 

5) Resistencia Eléctrica

   Un cilindro metálico de 50 cm de largo y 2 cm de radio presenta una corriente de 3 mA cuando la diferencia de potencial entre sus extremos es de 1.5 V. Encuentre la resistividad del cilindro.

R:

6) FEM

a) Una batería de 9V presenta una diferencia de po-tencial entre sus terminales de 8.5V cuando la corriente circulante es de 0.2A. Encuentre la resistencia interna de la batería.

b) Una resistencia emite 4.8 calorías en 5 segundos cuando la corriente circulante es de 0.2 A. Encuentre la diferencia de potencial entre sus extremos y el valor de la resistencia.

R:

a) V = e - Ri I

Ri = (e - V) / I = (9 - 8.5) / 0.2 » 2.5 W

b) Calor = 4.8 calorías = 20 J

Potencia = Calor / t = 20/ 5 = 4 Watt

Luego:

V I = 4  Þ  V = 4/ 0.2 = 20 Volt

Además RI2 = 4  Þ R = 4/ 0.22 = 100 W

 

7) Circuitos

Encuentre la resistencia equivalente en el siguiente circuito:

El circuito se reduce al siguiente:

8) Campo Magnético

a) Un cable de prueba de 10 cm de largo experi-menta una fuerza de 0.3 N cuando la corriente cir-culante es de 0.2 A, de acuerdo con el siguiente diagrama:

Encuentre la intensidad  y orientación del campo magnético y la orientación de la fuerza sobre el cable.

b) Un cable de alta tensión transporta 10 A. Encuentre la intensidad del campo magnético en una casa ubicada a 50 m del cable.

R:

a)

Orientación de : de + a -, es decir: .

Orientación de : de acuerdo con la Regla de la Mano Derecha,  apunta hacia atrás .

b) B = 2* 10-7 I / r = 2*10 -7 * 10 / 50 » 4*10 -8 T

 

9) Interacciones Electromagnéticas

a) Un protón está moviéndose con MCU en una zona dominada por un CM uniforme B = 2 T. El radio de la órbita es de 50 cm. Encuentre la rapidez de traslación.

b) Dadas las mismas condiciones anteriores y si el CM en el selector de velocidades es de 0.4 mT, encuentre el valor del Campo Eléctrico.

R:

a) MCU  Þ  Fcent = Fmag

mv2 / r = qvb

v = qBr/m = 1.6*10-19 * 2* 0.5/(1.7*10-27)

v »  9.41*107 m/s

b) v = E/ B Þ  E = vB = 94.1*106 *(0.4*10-3)

E » 37 640 N/C

 

10) Inducción EM
Una espira cuadrada de 15 cm de lado posee una resistencia de 2
W y se encuentra inmersa en una zona dominada por un campo magnético vertical, de acuerdo con el siguiente diagrama:

Encuentre:

a) La lectura del voltímetro

b) La corriente inducida por la resistencia

R:

a) El campo magnético varía a una razón de

x = 5/ 10 = 0.5 T/ s

Luego, el flujo varía a una razón de

x * A = x * 0.152

Es decir, e = 0.5* 0.152  = 11.3 mV

b) R = V/ I Þ I = V / R = 11.3 / 2

I = 5.7 mA

 

11) Corriente Alterna

   Dado el siguiente circuito de corriente alterna:

Encuentre:

a) La impedancia del circuito si w = 4 rad/s

b) La frecuencia (Hz) en la fuente de CA que maximiza la corriente circulante si XR y XC permanecen constantes (imagine que son independientes de w)

R:

 

 

12) OEM

Un láser de luz amarilla eleva la temperatura de 100 cc de agua en 5° C. Para hacer esto se requiere de 2080 J. ¿Cuántos fotones envió el láser al agua?

l

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Encuentre la fuerza con la que el protón atrae al electrón en el átomo de hidrógeno, sabiendo que el tamaño del átomo de hidrógeno es de 1.06 A°.

R: F = 8.2* 10-8 N

 

2) Dado el siguiente diagrama:

 

Encuentre el campo eléctrico en el punto P.

R: 150 750 N/C haciala izquierda.

 

3) En cierta zona el potencial eléctrico se comporta de acuerdo con el gráfico de la derecha.

Encuentre el campo eléctrico R: -2.8 N/C

 

4) Encuentre la energía eléctrica almacenada por el siguiente arreglo de tres cargas:

R: -0.32 J

 

5) Encuentre la resistencia equivalente en el siguiente circuito:

6) Por un cable muy largo circula una corriente de 15 A hacia arriba y un electrón se mueve hacia la derecha a 3500 m/s, según el diagrama de la derecha.

Encuentre la fuerza magnética sobre el electrón.

 

R: 2.4*10-21 N hacia abajo (q < 0)

 

 

7) Un rayo cósmico se acerca al Ecuador magnético (B= 100 mT) con una rapidez de 0.9c, de acuerdo con el diagrama.

Encuentre la fuerza sobre el rayo cósmico.

R: 1.73*10-14 N, orientación:  (se desvía)

 

 

 

 

8) Suponga que en el Polo Sur, el campo mag-nético terrestre (vertical) varía de acuerdo con el gráfico de la derecha.

Justo en ese lugar, unos exploradores colocan una

circunferencia de alambre de 400 m de radio con una ampolleta óhmica de 1500 W. ¿Cuál es el valor de la corriente inducida en el circuito?

R: 1.3 A

 

9) Un transformador de CA genera un voltaje RMS de salida de 50V cuando el voltaje RMS de entrada es de 220V. Sabiendo que NP = 1000, encuentre:
a) El número de espiras en el secundario

b) La corriente en una bobina externa si XL = 100 W

R: a) 227 vueltas, b) 0.5 A

 

10) OEM

a) Encuentre la frecuencia de la luz infrarroja, amarilla y ultravioleta.

b) Encuentre la energía de un fotón ultravioleta.

R: a) Infrarroja: menor que 4.9*1014 Hz, amarilla » 5.7*1014 Hz, Ultravioleta: mayor que 6.7*1014 Hz

b) Mayor que 4.44*10-19 J


PARTE 2: CAMPO ELÉCTRICO

 

CAPÍTULO 3: Interacciones entre cargas eléctricas.

3.1 Ley de Coulomb

 

La fuerza electrostática que ejerce la carga "1" sobre la carga "2" es:

 

UNIDADES IMPORTANTES

[q] ® Coulomb

         1 C = 6.25*1018 cargas elementales

e = carga del protón = - [carga del electrón] = 1.6*10-19 C

K = 1 / (4 p e) ® e = permitividad eléctrica del medio (normalmente el medio es el vacío)

 

OBSERVACIONES

i) Si las cargas tienen signos opuestos, la fuerza eléctrica será atractiva.

Si las cargas son del mismo signo, la fuerza será repulsiva.

ii) La fuerza generada por una carga positiva puede ser positiva o negativa:

 

MODELO BÁSICO DEL ÁTOMO (Rutherford - Bohr)

- El átomo corresponde a un núcleo de carga +Ze (Z = número atómico), formado por Z protones (cada uno de carga +e) y una cantidad variable de neutrones (de carga nula).

- Alrededor del núcleo orbitan Z electrones (en un átomo neutro)

 

PARTÍCULA

SÍMBOLO

CARGA, C

MASA, Kg

Protón

p+

+1.6*10-19

1.673*10-27

Electrón

e-

-1.6*10-19

9.1095*10-31

Neutrón

no

0

1.675*10-27

 

r átomo ~ 10-11 - 10-10 m

r núcleo ~ 10-15 - 10-14 m

NOTA:
Para las partículas subatómicas, la fuerza predominante es la eléctrica. Por ejemplo, para el electrón del átomo de hidrógeno:

FElec = 8.2*10-8 N

FGravit = 3.6*10-47 N


3.2 Energía Potencial Electrostática

3.2.3 Sistema de dos cargas

Para dos cargas qi y qj, la Energía Potencial originada por la interacción eléctrica es:

 

3.2.2 Sistema de n cargas

Para tres cargas, y utilizando el resultado anterior, se obtiene:

Observemos que la cantidad de términos de la sumatoria es igual al total de combinaciones posibles, disponiendo de n elementos para crear grupos conteniendo dos elementos. Es decir:

Si n = 3, la sumatoria contendrá tres términos:

 

3.3 Trabajo Eléctrico

3.3.1 Definición

Sea un sistema aislado formado por las cargas puntuales qi y qj. El trabajo necesario para crear el sistema  (qi, qj,) es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas eléctricas para traer cuasiestáticamente cada carga desde el infinito hasta el lugar correspondiente en el sistema (el resultado es independiente de la trayectoria).

Matemáticamente:

Observemos que si el sistema es aislado:

- Traer la primera carga desde el infinito no requiere trabajo

- Traer la segunda carga desde el infinito implica "luchar" en contra de la interacción eléctrica que percibe la segunda carga debido a la presencia de la primera.

 

NOTA

W = qi * [ Potencial eléctrico generado por qj cuando r = r i j ]

Donde [ Potencial eléctrico generado por q i ] = K q i / r

(Más información en el capítulo 5)

EJERCICIOS RESUELTOS

 

1) Fuerza eléctrica

Dado el siguiente sistema:

 

¿Dónde debe ubicarse una tercera carga q3 = -2*10-10 C, de modo que la fuerza recibida por q3 sea nula?

____________________

Por análisis vectorial, la carga debe colocarse entre q1 y q2 :

Sólo allí se consigue que las fuerzas sean antiparalelas.

 

Luego:

 


2) Arreglo de ocho cargas.

Xxxxxxx

 

3) Modelo de Bohr

Xxxxxxxx

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) (No incluidos)

 


 

 

CAPÍTULO 4: Campo Eléctrico

 

4.1 Campo Eléctrico

4.1.1 Definición de Campo Eléctrico (CE)

El CE es una alteración del espacio que puede ser percibida como una fuerza por cargas eléctricas no nulas. Luego, el CE se mapea del siguiente modo:

Donde:

 = Campo Eléctrico en el punto  del espacio.

       El CE se mide en Newton/Coulomb

q = carga de prueba (C) ubicada en el punto .

       Sea positiva y de un pequeño valor

 = Fuerza percibida por la carga de prueba

 

4.1.2 Líneas de Campo (o de Fuerza)

xxxxxxx

 

4.2 Ley de Gauss

4.2.1 Explicación de la Ley de Gauss

El flujo en una superficie cerrada "S" de cualquier función  "" dependiente de la posición es:

 

 

Gauss descubrió que si  es el Campo Eléctrico, el flujo siempre resulta ser igual a:

Donde:

Qenc = Carga encerrada por la superficie S

e = permeabilidad eléctrica sobre S

       (recordemos que Kel = 1/(4p e ) )

 

   Luego, la Ley de Gauss puede escribirse de dos formas:

i) Forma Integral:

Es decir:

Versión integral de la Ley de Gauss

 

ii) Forma Diferencial

Utilizando el Teorema de Green en tres dimensiones:

Versión diferencial de la Ley de Gauss

(Primera Ecuación de Maxwell)

 

4.2.2 Superficies Gaussianas (SG)
   
Se define como "Superficie Gaussiana" a aquella superficie donde se calcula el flujo de  de modo que se cumplen las siguientes dos condiciones:

i) |  | es constante sobre la SG

ii)  es paralelo o antiparalelo a ds (es decir:  )

 

4.2.3 Casos especiales de la Ley de Gauss

Los casos especiales más recurrentes son:

i) 1D: simetría cilíndrica (ej: axón neuronal)

Distribución lineal de carga, l = cte y  l ® ¥

Nota: [ l ® ¥  ] « [ r << l ]

 

ii) 2D: simetría plana (ej: electrocitos de una anguila)

Distribución areal de carga, s = cte y s ® ¥

iii) 3D: Simetría esférica (ej: célula idealizada)

Distribución tridimensional de carga y r = cte (medio no conductor)

 

NOTA: en un sólido conductor la carga reside en la superficie (corriente eléctrica = 0 «  "electrostática"). Luego, para un sólido conductor:

 


 

LEY DE GAUSS

 


4.3 Dipolo eléctrico

xxxxxx

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 

1) Cálculo de E  neto

Dado el siguiente arreglo de cargas:

 

Rótulo

Carga, mC

Ubicación, m

q1

- 5

(0, 0, 0)

q2

5

(0.4, 0.3, 0)

q3

5

(0.4, 0.3, 0.3)

 

  Encuentre el CE en 

R:

* Carga q1

El CE generado por q1 < 0 en el punto  apunta en el sentido

Por otro lado:

 

*Carga q2

El CE generado por q2 > 0 en el punto  apunta en el sentido

Por otro lado:

* Carga q3

El CE generado por q3 > 0 en el punto  apunta en la

siguiente dirección:

 

Por otro lado:

Luego:

 

Finalmente:

 

2) Definición integral de

Xxxxxxxxxxxxxxxxxx

 

3) Ley de Gauss

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Dos cargas puntuales q1 = 3 mC y q2 = - 5 mC están separadas por una distancia de 50 cm. ¿Dónde debe ubicarse una carga q3 = - 0.2 mC de modo que el CE en el punto medio del sistema original sea igual a cero?

R:

 

2) Dado el siguiente arreglo de cargas:

Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

 

 

 

CAPÍTULO 5: Potencial Electrostático

 

(No incluido)

   

 

 

CAPÍTULO 6: Condensadores y Dieléctricos

 

(No incluido)

 

CAPÍTULO 7: Circuitos Eléctricos en Corriente Continua (CC)

 

(No incluido)

 


PARTE 3: CAMPO MAGNÉTICO

 

CAPÍTULO 8: Fuerza Magnética y Campo Magnético

 

8.1 Ley de Lorentz

8.1.1 Introducción

     En el modelo clásico del magnetismo, éste es generado por carga en movimiento. Luego, toda la materia presenta al menos dos procesos que generan campo magnético:

- El movimiento orbital de los electrones en torno del núcleo atómico (Momentum Angular Orbital)

- La rotación de los electrones en torno de su propio eje (“spin”)

   Estos movimientos suelen tener direcciones aleatorias, por lo que el efecto neto corresponde a ausencia de campo magnético en la mayoría de los materiales. Sin embargo, a veces los movimientos presentan direcciones privilegiadas en ciertas zonas o “Dominios Magnéticos”, lo que permite explicar el magnetismo presente en los “imanes”:

 

 

NOTAS:

i) El Campo Magnético “ B  aflora desde el polo (+) o “Norte Magnético” e ingresa al polo (-) o “Sur Magnético”:

 

ii) El magnetismo siempre se presenta dipolarmente (no existen los “monopolos magnéticos”), por lo que el campo magnético es “rotacional”:

 

 

iii) La polaridad del dipolo magnético “ m ” se determina mediante la “Regla del Tirabuzón”:

 

 

iv) La polaridad del Campo Magnético generado por una carga en movimiento también se determina mediante la “Regla del tirabuzón”:

 

 

v) Polaridad del Campo Magnético generado por una corriente eléctrica ( = carga en movimiento):

 

 

8.1.2 Vector Campo Magnético

i) Vector 

* = Vector Densidad de Flujo Magnético = Campo de Inducción Magnética

[  ] = [ Flujo Magnético ] / [ Area ]

[  ] =  1 Wb / m2 = 1 N / (A*m) = 1 Tessla = 104 Gauss

ii) Vector 

* = Vector Intensidad de Flujo Magnético

Relación importante:

Donde m = permeabilidad magnética

NOTA

Dado un imán (o magneto) específico:

- B caracteriza el efecto del imán en el medio (al cambiar el imán de medio, el campo B también cambiará)

- H caracteriza al imán (no depende del medio)

iii) Constante Magnética “Kmag

Para el campo eléctrico:


 

Así mismo, para el campo magnético:

 

En el vacío se cumple que:

mo = 4p*10-7 N/A2

 

8.1.3 Ley de Lorentz

Sea una carga q moviéndose con una velocidad v en un medio influenciado por un campo magnético ::

 

 

La fuerza magnética sobre la carga q es igual a:

 

 

* Fuerza de Lorentz: Si una carga q se mueve en una zona influenciada por los campos  , la fuerza neta será:

 

NOTAS

i) La corriente eléctrica también corresponde a carga en movimiento, razón por la cual los cables por los que circula la corriente experimentarán una fuerza magnética igual a la sumatoria de la fuerza magnética sobre todas las cargas que tiene circulando en su interior:


 

ii) Observemos que:

-        La carga en movimiento genera campo magnético

-        La carga en movimiento percibe la presencia de un campo magnético en la forma de una fuerza qvXB

 

8.1.4 Fuerza magnética sobre un cable

Sabemos que

Luego, para una carga infinitesimal que viaja dentro del cable se cumplirá que:

Observemos lo siguiente:

 

Finalmente, la fuerza magnética  sobre el segmento dl de un cable es:

 

CONSECUENCIAS

i) Fuerza neta:

iii) Si además, B = cte sobre el cable de longitud total l:

 

 

iv) Torque sobre una espira

(Principio de funcionamiento de los motores eléctricos)

Sea la siguiente espira (indeformable) por la que circula corriente:

 

Fuerzas sobre la espira:

 

 

 

8.2 Ley de Biot Savart

8.2.1 Campo Magnético generado por una carga puntual en movimiento.

 

8.2.2 Ley de Biot Savart

El Campo Magnético generado por una corriente 1D es:


 

8.2.3 Campo Magnético generado por una corriente superficial (2D)

 

 

 

8.2.4 Campo Magnético generado por una corriente 3D

 

 

 

 

 

8.3 Ley de Ampère

   La circulación de un campo vectorial u a lo largo de la trayectoria cerrada G se define como:

 

Ampère descubrió que:

 

   Observemos que “ ienc” corresponde a la suma de todas las corrientes que circulan por la sección transversal definida por  G.

   Además:

 

COMPROBACIÓN

Para el caso de un cable 1D por el que circula una corriente i:

 

Es decir:

 

Finalmente:

 

   El resultado corresponde al Campo Magnético generado por una distribución de corriente con simetría cilíndrica (long à ¥ )

 

8.4 Energía Magnética

   Sabemos que cuando una espira por la que circula una corriente es influenciada por la presencia de un Campo Magnético, aparecerá un torque que provocará la rotación de ésta hasta que el torque desaparezca. El trabajo realizado por un torque cuando el ángulo pasa desde q1 a q2 es:

 

Dado que 

Se tendrá que:

dW = t dq = m B Senq dq = d(- m B Cosq)

Por lo tanto:

 

   Por  la equivalencia entre trabajo y energía, tendremos que la energía potencial magnética será:

 

   Si   define la dirección Z:

Umag = -m z B

 

 

   Luego, la mínima energía magnética (torque = 0) se consigue cuando la espira queda perpendicular al Campo Magnético:

 

   Y la energía magnética máxima (torque máximo) corresponde al valor que se obtiene cuando la espira queda “recostada” sobre el Campo Magnético:

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 

1) Fuerza Magnética entre dos cargas
   Dado el siguiente esquema:

Xxxxxxxxxxxxxxxx


 

2) Espectrógrafo de masas

   El siguiente esquema muestra el funcionamiento de un espectrógrafo de masas:

 

 

xxxx

 

3) Dado el siguiente diagrama:

xxxxxxxxxxxxx

 

4) Ley de Ampère

xxxxxxxxxxxxxxx

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

1) Regla de la mano Derecha

   La siguiente fotografía corresponde a la trayectoria dejada por diversas partículas en una cámara de burbujas:

 

Encuentre los signos de las cargas de cada partícula.

R:

A = (-);  B = (-); C = (+); D = (+); E = Neutra

 

2) Fuerza Magnética

Dado el siguiente esquema

 

Encuentre la fuerza magnética sobre q.

R:

 

3) Ley de Ampère

   Por el siguiente plano infinito circula una corriente superficial Js:

 

Encuentre el campo magnético generado por el plano (“distribución de corriente con simetría plana”) en el punto P.

AYUDA:

 

4) Dipolo Magnético

   La siguiente espira circular se encuentra inmersa en una zona influenciada por un campo magnético constante.

Encuentre:

a)    El momento dipolar magnético

b)    La energía magnética

c)    El torque

R:

 

5) Cálculo de B

Dada la siguiente carga en movimiento:

 

Encuentre el campo magnético en el punto P.

R:


CAPÍTULO 9: Inducción Electromagnética

(No incluido)

 

 

CAPÍTULO 10: Circuitos de CA
 

(No incluido)


PARTE 4: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

 

Capítulo 11:  Propagación de la Luz

(No incluido)

 

 

TIPO DE OEM

LONG DE ONDA

Radio

1 - 104 m

TV

VHF: 3 - 5 cm

UHF: 1 - 3 cm

Visible

Violeta: 4*10-7 m

Rojo: 7*10-7 m

Infrarroja

> 7*10-7 m

Ultravioleta

< 4*10-7 m

Rayos X

~ 10-14 m

Rayos g

~ 10-18 m

 

EJERCICIOS

 

8) Encuentre una expresión para el número de onda de una OEM propagándose en un dieléctrico con roce donde  (electrones ligados elásticamente)

R:

Sabemos que la ecuación diferencial para el movimiento de un electrón será:

 

Por otro lado, si E se propaga a lo largo del eje Z:

Aplicando el rotor:

En este caso:

Por lo anterior, la ecuación diferencial se puede expresar como:

 


CAPÍTULO 12:

ECUACIONES DE MAXWELL

 

12.1 Conceptos Previos

12.1.1 Algunas propiedades del producto entre vectores

 

12.1.2 Operador Nabla (pseudovector)

* Coordenadas Cartesinas ® X Y Z

 

* Coordenadas esféricas  ® r q f


* Coordenadas Cilíndricas  ® r f Z

 

12.1.3 Propiedades del operador nabla

 

 

12.1.4 Formas de derivar con  :

 

* Coordenadas Cartesianas

 

* Coordenadas Esféricas

 

* Coordenadas Cilíndricas

 

12.1.5 Teoremas de Green y de Stockes


* Ej: Si el dominio de integración fuese una esfera:

 

12.2 Ecuación diferencial de una onda viajera

Sabemos que una función de onda 1D se puede escribir como:

y (x, t) = f (k x - w t) = f ( g (x, t) )

Luego:

Por otro lado:

Por lo tanto:

w / k tiene unidades de rapidez Þ w / k º c

Finalmente:

 

- En un mundo con tres dimensiones espaciales y una temporal:

 

O también:

 

12.3 Deducción de las Ecuaciones de Maxwell

12.3.1 Ley de Gauss Eléctrica

Sabemos que: 

Es decir:

Utilizando el Teorema de Green:

Por lo tanto:

NOTA: Para una carga puntual q1 y utilizando como superficie gaussiana una esfera:

Luego:

Una carga q2  percibe el campo E como una fuerza F:

\ La Ley de Gauss incluye la Ley de Coulomb.

 

12.3.2 Ley de Gauss magnética

rmagn siempre es cero (dentro de lo que se sabe) « No existen monopolos magnéticos

Es decir:

O también:

 

12.3.3 Ley de Faraday
xx

12.3.4 Ley de Ampère - Maxwell

xx

 

12.3.5 Ecuaciones de Maxwell

Resumiendo, las cuatro ecuaciones que resumen todo el conocimiento electromagnético son:

 

 

NOTAS:

e = permitividad eléctrica del medio

      En el vacío: e ® eo

m = permeabilidad magnética del medio

       En el vacío: m ® mo (normalmente m »  mo )

 

Las Ecuaciones de Maxwell nos plantean las exigencias que deben cumplir los Campos "ElectroMagnéticos". Observemos que en las ecuaciones (iii) y (iv) estos campos aparecen "acoplados" ("BootStrap")

 

* Detalle importante

Si al resolver las Ecuaciones de Maxwell llegásemos a concluir que , tendríamos que el campo  corresponde a una onda viajera propagándose con una rapidez "c ", y en ese caso:

i) ¿Cuál es el medio que distorsiona el campo al propagarse como onda?

R: Llamémosle "éter"

(NOTA: Michelson y Morley demostraron que el éter no existe)

ii) ¿La rapidez "c " será una constante conocida?

- ¿Y si "c" fuera numéricamente igual a la rapidez de la luz?

- En todo caso, la rapidez de propagación de toda onda tiene que depender de la "elasticidad" del medio (¿o no?)

(NOTA: Las OEM distorsionan el VACÍO mientras viajan)

 

12.4 Resolución de las Ecuaciones de Maxwell en el vacío

"En el vacío" 

 

12.4.1 Campo

Ley de Faraday:

Respecto del término de la izquierda:

Finalmente:

Acabamos de descubrir que el campo  es una onda viajera (que se propaga en el vacío) con una rapidez igual a:

... Y que corresponde a la rapidez de la luz en el vacío.

 

12.4.2 Campo

En este caso:

Es decir:

 también se propaga en el vacío a la rapidez de la luz, Ahora cabe preguntarse si la luz corresponde a un tipo especial de "Onda Electro-Magnética".

- La luz ("visible", según los seres humanos) corresponde a una OEM que distorsiona el vacío y cuya frecuencia está en el rango de los

4.9*1014 < n < 6.7*1014 Hz

12.4.3 Ondas viajeras complejas

Dado que E y B satisfacen la ecuación de una onda viajera:

(entre otras posibles soluciones)

 

Y la (primera) ligazón es:

- Sabiendo que:

Se tendrá que los campos E y B se podrán escribir como:

... siempre que se recuerde que el campo con el que estamos trabajando corresponde a la parte imaginaria del campo complejo (aunque equivalentemente podríamos estar trabajando con la parte real:    )

- Para el caso de los campos complejos:

- Observemos que:

Y también:

 

12.4.4 Ligazón entre  

12.4.4.1  en función de

- Ley de Faraday:

- Pero 

- Luego:

De modo que la ligazón es:

NOTA:
Demuestre que en el vacío:

 

12.4.4.2  en función de

A partir de la última ecuación:

De modo que la ligazón es:

 

12.4.4.3 Ondas ElectroMagnéticas

xx

 

12.4.4.4 Orientación de los campos

xx

 

POLARIZACIÓN

- Lineal: No hay rotación. Sólo hay vibración a lo largo de una dirección específica.

- Circular: E y H describen una circunferencia

- Elíptica: E y H describen una elipse

 

 

12.5 Solución de la Ecuación de Onda Viajera

12.5.1 Solución 1D
xx

 

12.5.2 Ondas planas (3D)

xx

12.5.3 Ondas Cilíndricas (3D)

xx

 

12.5.4 Ondas esféricas (3D)

xx

 

12.6 Energía Electromagnética

12.6.1 Densidad de energía

xx

12.6.2 Potencia EM en cierto volumen

xx

 

12.6.3 Vector de Poynting

xx

12.6.4 Intensidad (o irradiancia) de una OEM

xx

 

12.7 Conservación de la carga eléctrica

xx

12.8 Interferencia

12.8.1 Superposición de dos ondas planas linealmente polarizadas.

xx

 

12.8.2 Tipos de Interferencia

xx

I

12.8.3 Sobre la diferencia de fase d

xx

 

12.9 Polarización

12.9.1 Polarización Lineal

xx

 

12.9.2 Polarización Circular

xx

 

12.9.3 Polarización Elíptica

En este caso el campo eléctrico describe una elipse durante su rotación.

Ej:

Luego:

 

12.9.4 Ley de Malus

Los polarizadores quedan caracterizados por el versor  que identifica el eje de transmisión de la OEM:

 

Observemos que si el vector  incidente forma un ángulo q con  , el campo eléctrico transmitido será

Luego:

- Intensidad incidente:

- Intensidad transmitida:

Ley de Malus:

 

NOTAS:

i) Si la onda incidente es luz "normal" (= luz "no polarizada" o con todas las polarizaciones posibles)  la mitad de la luz incidente será | | a  y la otra mitad será ^ a .

Luego:

 

ii) La mayor parte de los sensores de "luz", incluyendo el ojo humano, son más sensibles a  que a . Además

Eo » 120 p Ho

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 

1) Una OEM amarilla (n = 5.9*1014 Hz) cuyo vector número de onda en el vacío es   =  (10.4, 2.08, 6.24)*106 m-1, ingresa a un medio cristalino (n = 1.2, m = 3.7 p *10-7) con un ángulo de incidencia de 0°. Encuentre:

a) La fase de la OEM dentro del medio cristalino

b) La intensidad de la OEM dentro del medio cristalino, sabiendo que el valor máximo del campo magnético es de 50 mT.

R:

a) Cuando una OEM cambia de medio, la frecuencia permanece constante, pero la longitud de onda no.

Luego, en el cristal:


 b)

 

2) xxxxxxxxxxxx

3) xxxxxxxxxxxx

4) xxxxxxxxxxx

5) Ondas esféricas en el vacío.


ANEXO 1:

PROSPECCIÓN ELÉCTRICA
GeoMod PE Gold - 1 | GeoMod PE Gold - Resistividad | GeoMod PE Gold - Efecto IP

 

 

 

A1.1 Prospección Eléctrica
A1.1.1 Fundamentos

* La prospección eléctrica se dedica básicamente a mapear la diferencia de potencial del terreno, ya sea en una situación pasiva ("autopotencial") o con un estímulo externo (inyección de corriente).
* A partir de la diferencia de potencial se deducen las propiedades eléctricas del terreno: resistividad, polarizabilidad, etc.
*Aplicaciones:
- Obras civiles
- Caracterización edafológica del terreno (correlaciones entre propiedades edafológicas y geoeléctricas)
- Detección y delimitación de cuerpos mineralizados (cobre, hierro, etc.)
- Mapeo 3D de agua subterránea
- Caracterización de la corrosividad del terreno (ductos)
- Estudio geomecánico cualitativo (roca sana, fracturada, etc.)

A1.1.2 Diferencia de potencial
Para un suelo de resistividad r constante (isótropo y homogéneo) se tendrá que la diferencia de potencial entre los electrodos MN será igual a:

A1.2 Variables a mapear
A1.2.1 Resistividad aparente

La expresión anterior nos permite obtener la resistividad aparente del terreno:

A1.2.2 Polarizabilidad (Efecto IP o "Induced Polarization")
La cargabilidad del terreno cuantifica la presencia de "mini-condensadores" y se calcula del siguiente modo:
- En el dominio del tiempo:
Mt = V1 /V0

Donde
V1 = Voltaje del terreno "justo después" de cortar la corriente
V0 = Voltaje del terreno mientras la corriente era constante
- En el dominio de la frecuencia:
 MF = (z - r) / z

Donde:
z = resistividad aparente a alta frecuencia
Rho = resistividad aparente cuando la corriente es continua
En el modelo más utilizado, Mt y MF son directa-mente proporcionales.

A1.3 Arreglos electródicos
A1.3.1 Arreglo Schlumberger (sondaje 1D)

(No incluido)

A1.3.2 Arreglo Dipolo Dipolo (corte transversal 2D)
(No incluido)

EJERCICIOS
1) Diferencia de Potencial
2) xxx
3) Encuentre la constante K para el arreglo dipolo dipolo.
xxx
4) En cierto terreno se piensa que existe un batolito con-ductor sin afloramiento. Según los geólogos el batolito puede ser cuproso (Rho = 30 Ohm*m) o de onix (Rho = 1500 Ohm*m). Para detectarlo rápidamente se realiza el arreglo dipolo dipolo de acuerdo con el siguiente diagrama:
xxx
5) Se realiza una prospección Schlumberger, donde MN = 1m (cte) y se aumenta la abertura dipolar AB hasta los 2000 m, obteniéndose el siguiente gráfico bilogarítmico de Rho v/s AB/2:

 

(No incluido)

 

 


ANEXO 2:

PROSPECCIÓN MAGNÉTICA

 

A2.1 Fenómenos magnéticos
El magnetismo tuvo sus inicios en 1819 cuando el físico danés Hans Christian Oersted (1777-1851) descubrió accidentalmente durante una conferencia que una corriente eléctrica es capaz de desviar la aguja de una brújula. Sin embargo, en 1802 el italiano Gian Dominico Romognosi había descubierto el mismo fenómeno, pero lo publicó en el periódico "Gazzeta de Trentino" y no en una revista científica.Según el modelo clásico, el magnetismo espontáneo de la materia surge de los movimientos de traslación y rotación de los electrones, los que se agrupan en "Dominios Magnéticos".

A2.1.1 Campo Magnético

El campo indica cuantas líneas de flujo magnético pasan por unidad de área (depende del medio: ferromagnético, paramagnético, etc.)


Relación Importante:

Esto quiere decir que el campo es un campo "normalizado" (su valor es independiente del medio).

 

A2.1.2 Constantes y unidades

- Constante magnética:
Km = mo / (4p) = 10-7 Tm/A (exactamente)

El Gauss es la unidad CGS de

 

 

- Unidad de Prospección magnética.
En Prospección Magnética se suele medir el campo
a cielo abierto (m » mo). En este caso, la unidad de es "g"
1 g = 10- 9 T = 1 nT

 

A2.1.3 Equivalencia numérica entre
Si nos olvidamos de las unidades y sabiendo que a cielo abierto
m » m o, se tendrá que:
H = 795774.7*B
Es decir, si un campo dado expresado en unidades de B es igual a "uno", ese mismo campo expresado en unidades de H será igual a ± "ochocientos mil".


A2.1.4 Referencias
- Imán potente de laboratorio: 2.5 T
- Imán superconductor: 25 T
- Máximo PEM obtenido con un electroimán no militar durante un par de milisegundos: 120 T
- Magnetismo terrestre:
50 mT .(lo suficiente para desviar la aguja de una brújula)

ü  En los Polos: 60 mT

 ü En el Ecuador magnético: 30 mT

- Estrella de neutrones: 100 MT

A2.2. Campo Magnético Terrestre (CMT)
A2.2.1 Origen del CMT
El calor del núcleo (T= 4500°C, r = 16 Ton/m3) provoca movimientos convectivos en el manto líquido. Estos movimientos mantienen en rotación el núcleo sólido interno, lo que genera carga en movimiento o corriente eléctrica en el núcleo líquido. Esta corriente es la responsable del CMT, el cual presenta un patrón aproximadamente constante en el tiempo. Sin embargo, vista con detalle, la rotación del núcleo es definitivamente irregular. Por esta razón, en Prospección Magnética se cuenta con métodos para mapear el CM "al mismo tiempo". Además, la rotación del núcleo se va frenando debido a razones entrópicas. En los últimos 300 años el CMT ha disminuído su intensidad en un 15% y alrededor del siglo XL la rotación se invertirá y el Norte magnético coincidirá aproximadamente con el Norte Geográfico.

A2.2.2 Anomalías Magnéticas
xx

A2.3 Medición del CM
A2.3.1 Magnetómetro de Inducción
xx

A2.3.2 Balanza de Torsión
xx

A2.4 Prospección Magnética
xx

A2.4.1 Aplicaciones
xx

A2.4.2 Método Básico
xx

EJERCICIOS
1) Magnetómetro basado en el “efecto ciclotrón”
xx

2) Balanza de torsión
xx

3) Se tiene un magnetómetro de inducción magnética de 0.3 m2 de área y rotando a 5 rps, de acuerdo con el siguiente diagrama:
xx

4) Se mide el vector T en cierto lugar, obteniéndose el siguiente valor
xx

5) La siguiente tabla muestra los valores del vector T residual en cada nodo de la grilla especificada a continuación:
xx

 


 

ANEXO 3:

MEMBRANAS BIOLÓGICAS

 

A3.1 Fundamentos
- En una Membrana Biológica (MB) se puede distinguir una bicapa lípida a modo de "ladrillo" y proteínas que actúan como poros, los que pueden ser activos ("bombas moleculares") y pasivos:

- A través de los poros pueden circular ciertas sustancias, ya sea como input y/o output, lo que permite la sustentación del metabolismo y la propagación de señales nerviosas.

- Una célula nerviosa puede funcionar correcta-mente si se encuentra inmersa en la siguiente solución ("suero fisiológico"):


 

SUSTANCIA

Concentración, mMol/ l

Na+

145

K+

5

Cl -

125

Otros iones +

5

Otros iones -

30

 

En reposo, el interior de una célula nerviosa presenta estos mismos iones, pero en concentraciones distintas:

 

SUSTANCIA

Concentración, mMol/ l

Na+

15

K+

150

Cl -

9

Otros iones -

156

 

A3.2 Flujo Mecánico

A3.2.1 Flujo debido a una diferencia de presión

   Una sustancia puede atravesar una MB debido a la diferencia de presiones entre el interior y el exterior:

A3.2.2 Flujo debido a la presión osmótica

   Si existe una diferencia de concentraciones "DC" entre el interior y el exterior, estas tenderán a igualarse, por lo que se establecerá un flujo desde la zona de mayor concentración a la de menor concentración, cumpliéndose que:

J = - K DC,  K = cte

   Para una MB perfecta:

K = LpRT,   R = cte universal de los gases

T = Temperatura absoluta

   La presión osmótica se define como:

Posm = RTDC

A3.3 Difusión de iones

A3.3.1 Ley de Fick

   El flujo  de iones 1D (eje x) debido a una diferencia de concentraciones es:

 

A3.3.2 Iones en un campo eléctrico

   El flujo de iones 1D (eje x) debido a un campo eléctrico E es:

A3.3.3 Relación de Nernst:

   Sea un flujo de iones positivos (Q = +e) circulando por una MB. El flujo neto será igual a:

 

 

 Luego, la diferencia de potencial capaz de detener el flujo de iones será:

 

 

A3.4 Circuitos eléctricos equivalentes

   Una MB presenta fundamentalmente pro-piedades resistivas y capacitivas. En un modelo simple, el circuito eléctrico que puede repre-sentar a la MB es:

 

A3.4.1 Resistencia de una MB cilíndrica

 

A3.4.2 Capacidad de una MB cilíndrica

C = e A / l

   De acuerdo con la figura anterior:

 


A3.4.3 Resistencia de un poro

Para el poro:

A3.5 Conducción de impulsos nerviosos

A3.5.1 Potencial de reposo de un axón

   El interior de un axón en reposo eléctrico (con los canales de iones cerrados) es negativo respecto del exterior. El potencial de Nernst se puede calcular utilizando los siguientes valores de referencia:

Luego:

 

A3.5.2 Potencial de acción en un axón cilíndrico

   Una perturbación en el axón se propaga espacial-mente de acuerdo con un decaimiento exponencial:

 

   Si un estímulo Vo consigue superar cierto voltaje umbral Vo, se abrirán los canales de iones positivos y se transmitirá un pulso electroquímico conocido como "potencial de acción". En este caso el interior del axón se volverá positivo respecto del exterior.

   El potencial de acción resulta ser:

 

A3.5.3 Activación cerebral

   El potencial de acción viaja a unos 10 m/s hasta llegar al cuerpo celular donde se liberan neurotrans-misores. La recepción de neurotransmisores provenientes desde distintas neuronas implica un "input ponderado total" en la neurona post-sináptica:

 

 

   La neurona post-sináptica o receptora procesará el input I. En un modelo clásico, la actividad de la neurona post-sináptica será:

 

 

   El efecto global corresponderá a un pequeño cluster de neuronas emitiendo "destellos" o actividad eléctrica.

 

 


EJERCICIOS

 

1) Dentro de una campana de vacío se está probando un riñón artificial por el que circula suero fisiológico debido a diferencia de presiones y de concentraciones. El riñón artificial se caracteriza por mantener su presión interior constante e igual a 1 atm. Cuando la presión externa baja a 0.8 atm, se consigue detener el flujo de sodio. Encuentre la con-centración de sodio en el interior del riñón artificial.

R:

Veamos:

Por otro lado:

 

2) Encuentre la diferencia de potencial que consigue detener un flujo de iones sodio (Q = +e) en una MB.

R:

3) Encuentre cómo se atenúa espacialmente una señal de voltaje en un axón cilíndrico

R:

 

4) Dada la siguiente Red Neuronal:

 

Encuentre la actividad de la neurona 4, sabiendo que:

S1 = 0.5

S2 = 0.9

w13 = 0.3

w23 = 0.7

w34 = 0.5

R:

Input de la neurona 3:

 

Output de la neurona 3:

 

Input de la neurona 4:

 

 


ANEXO 4:

¿PARA QUÉ ESTUDIAR FÍSICA?

" Hay diez mil hombres como tú sobre los que descansa el progreso tecnológico de mil quinientos mundos. No podemos permitirnos perder uno solo de ellos o malgastar nuestras energías y recursos en un individuo incapaz de cumplir con las mínimas exigencias"

"Profesión", Isacc Asimov

 

 

 

   Sir Ernest Rutherford contaba la siguiente anécdota:

   "Hace algún tiempo recibí la llamada de un colega que estaba a punto de evaluar a un alumno con una nota uno en Mecánica de Fluídos, siendo que el estudiante alegaba insistentemente que merecía un diez. Yo fui llamado a participar de árbitro.

     La pregunta de la prueba decía: demuestre que es posible medir la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro.

     La respuesta esperada era: 

    El estudiante había respondido: se lleva el barómetro a la azotea y se le ata una cuerda. Se descuelga el barómetro y se marca la cuerda. La distancia entre un extremo de la cuerda y la marca corresponde a la altura del edificio.

     Bueno... la respuesta era correcta, pero no reflejaba necesariamente el verdadero nivel del alumno. ¿Y si él no sabía nada de Mecánica de Fluídos?

     Le di otra oportunidad con la condición de que esta vez demostrara sus conocimientos de Física.

     Esta vez el alumno respondió: se suelta el barómetro desde la azotea y se mide el tiempo que demora en caer. Luego, se calcula la distancia recorrida sabiendo que  .

     Nuevamente la respuesta era correcta. Esta vez mi colega  lo evaluó, muy a su pesar, con un diez.     

Tras abandonar mi despacho, alcancé al estudiante y le pregunté si era capaz de formular otras respuestas. Bueno, respondió, hay muchas maneras. Por ejemplo:

* Se mide la sombra del barómetro y la del edificio. Luego se despeja la altura utilizando una simple proporción.

* Otra forma: se sube por las escaleras y se marca en el muro la altura del barómetro de manera recursiva. El número de marcas multiplicado por la altura del barómetro es igual a la altura del edificio.

* Otra forma: se ata el barómetro a una cuerda. Se va a la azotea y se hace oscilar como un péndulo simple. Luego, se calcula la altura del edificio sabiendo que el periodo de un péndulo simple es .

* Seguramente el mejor método sea tomar el barómetro e ir donde el Conserje y decirle: Si usted me dice la altura del edificio, yo le doy este barómetro...

    

     En ese momento lo interrumpí y le pregunté si no sabía la respuesta basada en Mecánica de Fluídos: . El respondió:

 

"Claro que la conozco, pero no corresponde  colocarla en la prueba, porque durante todos estos años mis profesores de Física se han esforzado en enseñarme a pensar con mis propias pautas mentales".

 

     El estudiante se llamaba Niels Bohr y fue el primer científico en proponer un modelo atómico con variables físicas cuantizadas... porque había aprendido a pensar con sus propias pautas mentales.

 

 

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