INDICE
ElectroMagnetismo - Versión 3.1 | Registro de Propiedad
Intelectual nº 154.044
Parte 1: Introducción al Electromagnetismo: pág 1
* Capítulo 1: Introducción: 1 Parte 2: Campo Eléctrico: pág 20 |
- Ejercicios Propuestos: 92 Parte 3: Campo Magnético: pág 96 Parte 4: Ondas EM: pág 142 ANEXOS: pág 104 |
PRESENTACIÓN
Con este libro, el segundo de la Serie de Manuales de Física Aplicada, entregamos formularios, teoría y ejercicios de Electro-magnetismo, los que se exponen en un estilo, secuencia y desarrollo diseñados estratégicamente para conseguir la mayor comprensión posible de un modo directo y eficiente. Nada ha sido dejado al azar. Cada ejercicio condensa en pocas líneas muchos conceptos diferentes e interrelacionados. Así es como favorecemos el "Aprender Haciendo" (Constructivismo). Muchos ejercicios corresponden realmente a resultados que podríamos llamar "clásicos", en el sentido de que forman parte de la teoría y/o aplicaciones científicas populares (biofísica, obras civiles, etc.). Por lo tanto, no se preocupe si los encuentra difíciles, dado que se necesitó del esfuerzo de muchos científicos para llegar a lo que nos puede parecer una sencilla fórmula, ecuación o aplicación.
NT2 Labs
The Geophysics Team
PARTE 1: Introducción al Electromagnetismo
1.1
La Física: Modelos y Aproximaciones
...Como seres racionales que somos, estamos motivados naturalmente a enmarcar dentro de leyes y reglas cualquier tipo de experiencia. Cada conjunto de leyes está estructurado de acuerdo con cierto punto de vista: necesitamos una referencia para poder especular. El refinamiento de esas leyes proporciona una mayor claridad y nitidez a las observaciones, pero no debemos olvidar que las leyes están condicionadas por la referencia. Pero, en principio, esto tiene que ser así. Si queremos entender las cosas debemos dar el primer paso y esto exige interpretar lo que vemos desde una referencia específica. Siempre debemos recordar que nuestras conclusiones son sólo aproximaciones, las cuales se pueden refinar y conectar con la sabiduría proveniente de otros puntos de vista, obteniendo de este modo "Ciencias Híbridas": BioFísica, FísicoQuímica, GeoFísica, etc. Así es como el punto de vista inicial puede evolucionar en nitidez y amplitud.
NOTA: El conocimiento científico no se vuelve OBSOLETO ni es SUSTITUÍDO por uno nuevo. Así no funciona la Ciencia. El nuevo conocimiento siempre resulta ser una MEJOR APROXIMACIÓN que el conocimiento anterior. En otras palabras, el nuevo conocimiento ABSORBE al conocimiento antiguo y puede convertirse en éste último si se "relajan" las condiciones, del mismo modo como la Relatividad de Einstein puede convertirse en Mecánica Clásica si las rapideces son "bajas".
1.2 El Origen de la Física Clásica
Hace treinta siglos, los sabios de Occidente querían
entender el universo globalmente para vivir en armonía con el
orden natural de las cosas. Para ellos no existía división entre
la religión y la ciencia, lo que ilustra un esfuerzo por entender la
naturaleza más profunda de todo lo que existe. De todas las escuelas
de pensamiento griego, la Física Clásica (Mecánica y
Electromagnetismo) se deriva de las ideas atomistas de Leucipo y Demócrito
(Siglo V AC), donde se marca una clara distinción entre el mundo material
(FISIS) y el mundo mental (PSIQUIS).
El punto de vista clave de la Física Clásica es el ATOMISMO, o la creencia de que la materia está formada por "ladrillos básicos" microscópicos e indivisibles, denominados ÁTOMOS. Posteriormente la Mecáncia Cuántica demostraría que tales ladrillos no existen como ladrillos, sino más bien como "potencialidades". |
El atomismo guió los pasos de la Ciencia Occidental
hasta el siglo XX: el sucesivo refinamiento de la Teoría Atómica
terminó por demostrar sus propias limitaciones con la Teoría
de la Relatividad y la Mecánica Cuántica, las que nos entregan
una visión más nítida y más amplia... pero ésto
siempre será una APROXIMACIÓN:
- "Supongamos que el roce es despreciable"
- "Supongamos que la gravedad de Júpiter no influye en
lo que se hace en la Tierra"
- "Supongamos que las cargas y las masas son puntuales",
etc.
Aristóteles sistematizó y organizó el conocimiento científico de la antigüedad y su criterio (basado en la contemplación de Dios) dominó el pensamiento de Occidente durante la Edad Media.
1.3 Las bases de la Física Clásica
Durante el Renacimiento, la cultura occidental
comenzó a desviarse de las directrices aristotélicas. Surgieron
personas que efectuaban experimentos para comprobar la validez de sus especulaciones.
Por primera vez se abandonaban los dogmas y comenzaba a surgir la Ciencia
Moderna.
Se considera a Galileo (S XVI) como el padre de
la Ciencia Moderna debido a su habilidad sobresaliente para combinar el conocimiento
experimental con las matemáticas. La influencia de los éxitos
científicos de Descartes y de Newton promovieron el punto de vista
mecanicista como la base para lo que se conoce como "Física
Clásica".
* El punto de vista mecanicista visualiza
cualquier sistema como un mecanismo de relojería: el todo es exactamente
igual a la suma de las partes (no puede ser de otro modo... ¿o sí?).
Luego, entendiendo las partes se puede entender el todo.
* Descartes promovió la creencia de que
el ser humano es un "fantasma manejando una máquina" (la
dualidad mente - cuerpo), al afirmar "Pienso, luego existo", como
si el "fantasma" pudiera pensar en ausencia de una atmósfera.
* Isaac Newton explicó magistralmente como
actúan las fuerzas, destacando su trabajo sobre la gravitación.
Para ello tuvo que desarrollar nuevas herramientas matemáticas como
el Cálculo Diferencial e Integral.
1.4 La Física Clásica
La Física Clásica funciona en un espacio tridimensional donde
los objetos se pueden mover libremente en cualquier dirección y sentido.
A esto se le agrega el tiempo (diferente del espacio) que siempre fluye uniformemente
hacia el futuro. En este escenario se desarrollan los "guiones"
protagonizados por partículas puntuales caracterizadas por sus masas
y cargas eléctricas. Este fue el marco que soportó todo el edificio
de la ciencia durante tres siglos.
La primera área del saber que se benefició
con este punto de vista fue la Mecánica, desarrollada por Isaac Newton
con sus Tres Leyes. Como lectura de fondo se observa la premisa de que el
mundo puede ser descrito objetivamente (en el siglo XX se descubrió
que el observador y el sistema observado no son independientes). Más
tarde, Laplace utilizó la Mecánica Newtoniana para describir
exitosamente el sistema solar. Su modelo está descrito en la obra "Mecánica
Celeste".
El éxito de Laplace motivó a los
Físicos a aplicar la Mecánica al movimiento de los fluídos
y las vibraciones... y nuevamente triunfaron. En el siglo XIX se descubrió
que incluso el calor se puede explicar mecánicamente (Termodinámica
y Mecánica Estadística), dado que la temperatura mide el grado
de agitación interna de las partículas que forman un sistema.
Los triunfos experimentales retroalimentaron sucesivamente la validez del
Método Científico.
A partir del siglo XVII, la simple aspiración
filosófica de vivir en armonía con el orden natural se combinó
con el colonialismo y la tecnología, y la ciencia comenzó a
estar marcada por el deseo de dominar y controlar la naturaleza. Según
Francis Bacon, la meta del científico es "torturar a la naturaleza
hasta que revele todos sus secretos", lo cual no tendría nada
de objetable, dado que el universo entero sería simplemente
un gigantesco mecanismo de relojería.
1.5 El Método Científico
Los trabajos de los científicos de la Época Moderna fueron perfeccionando
el Método Científico hasta que éste en el siglo XIX dio
origen a la corriente filosófica conocida como "Positivismo"
y que se basaba en una fe ciega en la ciencia.
* El Positivismo es la
base ideológica del Método Científico. * Para el Positivismo, el conocimiento es verdadero sólo si está de acuerdo con la experiencia. * Para el Positivismo, si una proposición no se puede verificar experimentalmente, entonces pertenece a la Metafísica y debe ser rechazada por la Ciencia. |
El Positivismo se convirtió en
la filosofía dominante de la gente culta y promovió la exaltación de las Ciencias
Experimentales como el único medio capaz de garantizar el progreso de la humanidad.
El corazón del Método Científico corresponde
a contrastar las construcciones mentales con los hechos experimentales, de
acuerdo con el siguiente esquema:
El proceso se retroalimenta
sucesivamente, lo que garantiza que en cada iteración estaremos más cerca de la
verdad (mejores aproximaciones). Por ahora (Física Clásica) entenderemos por verdad
a la equivalencia perfecta entre el conocimiento y el objeto del cual se habla.
La Ciencia de por sí debe aceptar la existencia de la verdad... lo difícil es
encontrarla.
COROLARIO:
Si el Método Científico es imperfecto, tarde o temprano revelará
sus fallas, debido a que es iterativo.
Es decir, debido a que posee un mecanismo de detección de autodepuración
o de detección de errores (cosa que ocurrió a comienzos del
siglo XX)
* El Positivismo es la
base ideológica del Método Científico. * Para el Positivismo, el conocimiento es verdadero sólo si está de acuerdo con la experiencia. * Para el Positivismo, si una proposición no se puede verificar experimentalmente, entonces pertenece a la Metafísica y debe ser rechazada por la Ciencia. |
NOTA: La Mecánica Cuántica y la Relatividad obligaron a redefinir el concepto de VERDAD, debido a que "el objeto del cual se habla" es realmente una proyección mental del exterior (percepciones). La "equivalencia perfecta" sólo puede ser perfecta si se compara una idea con otra idea. En palabras del filósofo William James: "El conocimiento es verdadero sólo si funciona" (Pero las ILUSIONES también funcionan..)
El Método
Científico se sustenta en "Las Tres R":
- Reduccionismo: el todo se explica en función de sus partes. En otras
palabras: un problema grande puede ser solucionado al convertirlo en pequeños sub-problemas.
A continuación se debe resolver cada subproblema. La solución global
corresponde a la simple adición de las sub-soluciones, es decir "el todo
es exactamente igual a la suma de las partes" (mecanismo de
relojería).
- Refutación:
el avance científico consiste en revisar iterativamente los modelos actuales
para encontrar cada vez mejores aproximaciones. En otras palabras: el avance
científico ocurre cuando se refuta una "verdad" previa.
- Replicación
o Reproducibilidad: Las leyes científicas se consideran
validadas cuando el experimento que las revela puede ser Replicado o Reproducido
por cualquier Laboratorio.
Para problemas muy complejos el Método Científico se muestra ineficaz y "Las 3R" revelan sus imperfecciones. En esos casos es mejor complementarlo con "Teoría de Sistemas", "Teoría del Caos" y "Teoría de la Complejidad"... Y el todo deja de ser igual a la simple adición de las partes. Esto es debido a que las partes al combinarse pueden mostrar propiedades distintas (o "emergentes") respecto de la situación aislada. Por ejemplo, al combinar un metal (Na) con un gas venenoso (Cl) se obtiene un delicioso "saborizante": la SAL (NaCl). |
"Cuando
los opuestos se llevan al límite se convierten en lo mismo"
Filosofía Zen |
1.6 El ElectroMagnetismo
Los fenómenos electromagnéticos presentaron un desafío
para los científicos del siglo XVIII debido a que sugerían la
existencia de fuerzas desconocidas. Michael Faraday (S XIX) proporcionó
la primera pista cuando consiguió convertir el movimiento de un imán
en corriente eléctrica ("FEM inducida"). Su trabajo hizo
posible el dínamo y los motores eléctricos modernos. La Teoría
Electromagnética consiguió su culminación
con los trabajos de Maxwell y sus cuatro ecuaciones sobre los "Campos
Electromagnéticos".
Previo a Maxwell se sabía que las cargas eléctricas generaban
una fuerza de interacción de acuerdo con la Ley de Coulomb:
La expresión es análoga a la Ley de Gravitación Universal de Newton:
Pero aquí mismo terminan las semejanzas,
dado que la gravedad clásica siempre es atractiva, a diferencia de
la fuerza coulombiana que puede ser atractiva, repulsiva o nula.
Faraday y Maxwell abandonaron el modelo coulombiano de atracción entre
cargas y lo sustituyeron por el concepto de CAMPO. Según este nuevo
punto de vista, cada partícula (por el mero hecho de poseer carga eléctrica)
crea una perturbación permanente en el espacio, la cual se expresa
como una fuerza de interacción sólo cuando hay otra carga que
pueda percibir la perturbación.
Desde la Referencia Newtoniana, las fuerzas estaban rígidamente ligadas a los cuerpos que las percibían. Ahora, con el nuevo concepto de CAMPO, los cuerpos interactuantes se volvían irrelevantes y el foco de atención pasaba a estar centrado en el espacio. Según Albert Einstein: "La materia está constituída por regiones del espacio donde el campo es extremadamente intenso (..) el campo es la única realidad".
NOTA: El Campo Electromagnético actúa DENTRO del escenario Espacio-Temporal de Newton. En cambio, el Campo Gravitatorio altera y deforma tanto el espacio como el tiempo.
Resumiendo, en el Electromagnetismo
se tiene partículas puntuales caracterizadas por su "carga eléctrica",
la que puede ser positiva o negativa. Cargas de igual signo se repelen y cargas
de distinto signo se atraen (Ley de Coulomb). La base del ElectroMagnetismo
corresponde al concepto de "Campo EléctroMagnético" y a las cuatro
Ecuaciones de Maxwell. Aquí tenemos que por primera vez el concepto de Fuerza
es sustituído por el concepto de "Campo". Desde este punto de vista
se observa que las cargas eléctricas modifican ciertas propiedades del espacio,
independiente de que haya o no otra carga que pueda percibir estas modificaciones.
Por otro lado, las cargas en movimiento (corrientes) se comportan como imanes
(Campo "Magnético"). Pero el movimiento es relativo, por lo que
toda carga puede ser percibida como una corriente, de modo que lo que realmente
importa es el "Campo ElectroMagnético" (CEM). Actualmente
se sabe que la luz visible, los rayos X, las ondas de radio, etc. corresponden
a CEMs que sólo difieren en su frecuencia o rapidez de vibración.
Al finalizar el Siglo XIX se observaron esfuerzos
por explicar los CEMs en función de vibraciones del "éter"
(y convertir de este modo el Electromagne-tismo en Mecánica). La idea base
era desarrollar un modelo similar a la forma como el sonido hace vibrar el
aire. Sin embargo, el Método Científico refutó esta hipótesis con el
experimento de Michelson y Morley (1887), lo que sentó el germen para la Teoría
de la Relatividad de Einstein.
Cabe señalar que el ElectroMagnetismo es una "Teoría Realista Local",
lo que significa que se realizan tres aproximaciones fundamentales:
- El término "Teoría" indica que no se duda de la inducción
(o del empirismo) como el método por antonomasia para llegar a la verdad.
- El término "Realista" quiere decir que se asume que existe
un mundo externo e independiente del observador.
- El término "Local" significa que como máximo las interacciones
viajan a la rapidez de la luz (3x108m/s)
Otras aproximaciones:
i) Reglas Metafísicas
- La materia es distinta de la mente ("Pienso, luego existo")
- La materia está inmersa en el espacio y el tiempo fluye hacia el
futuro a un ritmo uniforme
- El universo se guía por leyes escritas en lenguaje matemático
y que pueden ser descubiertas mediante el Método Científico
(Galileo)
- La explicación más sencilla tiende a ser la correcta ("Navaja
de Ockham", acto de fe del que se burló Carl Sagan en "Contacto")
ii) Reglas de la Lógica Binaria
- De una hipótesis verdadera sólo se derivan conclusiones verdaderas
- La negación de la negación es la afirmación
- Las cosas no pueden estar en situaciones mutuamente excluyentes al mismo
tiempo ("Principio de no contradicción")
iii) Reglas Matemáticas
- Transitividad (Si A= B y si B= C, entonces A= C)
- Reflexividad (A = A)
- Simetría (Si A= B, entonces B= A)
- El todo es exactamente igual a la suma de las partes (Reduccionismo o anti-
sinergia)
- Un plano (2D) es un "array" de líneas (1D) y una línea
es un "array" de puntos (0D).
Capítulo 2:
Recapitulación de Electromagnetismo de acuerdo con las directrices del
Ministerio de Educación para la Enseñanza Media
2.1 Electricidad
e = carga del protón > 0
e = + 1.6* 10-19 C = carga mínima posible o "cuanto"
de carga eléctrica
Carga del electrón: -e
1 Coulomb = 6.25*1018 cargas elementales
mp = masa del protón = 1.7*10-27 Kg
me = masa del electrón = 9*10-31 Kg
K = constante eléctrica = 9*109 Nm2/ C2
- Todo cuerpo posee cargas eléctricas
- Si el cuerpo tiene déficit de electrones,
la carga neta es positiva
- Si el cuerpo tiene exceso de electrones, la carga
neta será negativa
- Inducción electrostática: fenómeno
por el cual un cuerpo puede adquirir carga eléctrica debido a la influencia
de otro cuerpo cargado situado en su vecindario
Ley de Coulomb
La fuerza eléctrica generada por la carga
1 percibida por la carga 2 es:
2.2 Campo Eléctrico (CE)
- Líneas de fuerza o de Campo (eléctrico): son una representación
gráfica del CE consistente en líneas que indican la dirección
y sentido del CE en cada punto del espacio. Las líneas de campo se
construyen de modo que el vector
sea tangente a las líneas de campo. Además, las líneas
de campo presentan la propiedad de que E es más intenso (mayor módulo)
en aquellos lugares donde hay una mayor densidad de líneas.
A continuación se indican las líneas de campo para un arreglo de dos cargas, una positiva y la otra negativa:
- El CE en la posición percibido por la carga de prueba Q es:
donde
es la fuerza eléctrica percibida por la carga de prueba en la posición
.
- Para una carga puntual: E = KQ/r2 (dirección radial hacia
dentro si Q < 0)
- Principio de Superposición: dado que el CE es un vector, debe cumplirse
que:
* Conservación de la Carga Eléctrica
En un sistema aislado, la carga eléctrica se conserva:
2.3 Diferencia de Potencial
- Energía Potencial Eléctrica
Como las fuerzas eléctricas son conservativas:
W = trabajo realizado por las fuerzas eléctricas cuando hay un cambio
en la posición de las cargas
Para las cargas puntuales i y j se cumple que:
U i j = K Qi Qj / ri
j
- Potencial eléctrico (PE)
El PE en la posición
y percibido por la carga de prueba Q es:
la carga Q al ser colocada en la posición
Unidad de Potencial Eléctrico: 1 Joule / Coulomb = 1
Volt
- Diferencia de Potencial
- Gradiente de Potencial y CE
- Energía de formación de un sistema formado por tres cargas:
U = U12 + U13 + U23
- Para un volumen esférico conductor cargado de radio R:
2.4 Corriente Eléctrica
- Intensidad de Corriente Eléctrica:
Por convención del siglo XIX, se
define como el sentido de la corriente a aquel en que se tendrían que
mover las cargas positivas en el conductor (se muevan o no realmente).
- La corriente provoca Electrólisis en un compuesto químico
(separación de los elemen-tos constituyentes).
- La corriente (carga en movimiento) provoca campo magnético rotacional
a lo largo del conductor
- La corriente se mide con un Amperímetro y se debe utilizar
en serie
- La diferencia de potencial se mide con un Voltímetro y se
debe utilizar en paralelo
2.5 Resistencia Eléctrica
- Ley de Ohm (conductores ideales):
- Resistividad:
2.6 Fuerza ElectroMotriz (FEM)
- FEM: es el trabajo por unidad de carga realizado por una fuente para mantener
una diferencia de potencial dada entre sus terminales
- La diferencia de potencial entre los terminales de una fuente es:
Donde
Ri = Resistencia interna de la fuente
I = Corriente que circula por la fuente
- Potencia Eléctrica y energía: Las resistencias disipan
la energía eléctrica como calor. La potencia eléctrica
(Watt) es igual a:
P = V I = R I 2
= Calor / t = Energía eléctrica / t
Energía eléctrica = Calor disipado = VQ =
Pt = RI2 t
1 Joule = 0.24 Calorías
1 KW h = 3.6 * 106 J
2.7 Circuitos
- Circuito en Serie:
- Circuito en Paralelo:
2.8 Campo Magnético
- Brújula: Imán liviano equilibrado sobre un eje con roce despreciable.
- Campo Magnético: perturbación sufrida por el espacio debido
a la presencia de un imán, lo que determina la aparición de
fuerzas opuestas sobre los polos de una brújula.
- Magnetismo Terrestre:
- Intensidad del Campo magnético (
)
Unidad de :
Sentido de :
- "Ley de Ampere"
El CM a una distancia r de un conductor muy largo por el que circula una corriente
i es:
2.9 Interacciones Magnéticas
- Fuerza magnética o de Lorenz sobre una carga puntual en movimiento:
F
= q v B
x
x
x
-
Trayectoria de una carga en un CM
La carga mostrada en la figura
anterior describirá un movimiento circunferencial uniforme en el plano XY,
donde el radio de la trayectoria será:
- En un selector de velocidades, las partículas que
consiguen atravesar el colimador salen con la siguiente rapidez: v = E / B, donde E = campo eléctrico y B = campo
magnético (ambos perpendiculares)
2.10 Inducción Electromagnética
- Flujo magnético atravesando una superficie A:
Donde es la componente del CM perpendicular a
la superficie.
- FEM inducida
Corresponde a la diferencia de potencial que se
establece en un circuito cuando hay una variación del flujo magnético que
atraviesa el área definida por el circuito.
- Ley de Faraday
2.11 Circuitos de Corriente Alterna
- Reactancia Resistiva: XR = VR / I
- Reactancia Capacitiva: XC = VC / I
- Reactancia Inductiva: XL = VL / I
- Impedancia de un circuito: corresponde a la
resistencia eléctrica de un circuito cuando la corriente circulante es alterna.
Z = V(máx) / I(máx) = V(RMS) / I(RMS)
- Impedancia de un circuito en serie
NOTA: la impedancia y las reactancias
dependen de w.
- Transformador
VS / VP = NS / NP
Donde
VS = Voltaje en el embobinado secundario
VP =
Voltaje en el embobinado primario
NP = Número de espiras en el primario
2.12 Ondas
Electromagnéticas
- Relación fundamental para una onda:
v = l n
v =
velocidad de propagación de la onda, m/s
l =
longitud de onda, m
n = frecuencia
de vibración, Hz
-
Velocidad de la luz.
En el
vacío: c = 300
000 Km/ s = 3*108 m/s
En el
vidrio la luz se propaga más lentamente que en el aire.
- Luz
visible
Su
longitud de onda debe estar entre los 4500A° y los 6100 A° ( 1 Å = 10 -10 m )
Luz infrarroja: l > 6100 A° (invisible)
Luz
amarilla: l » 5300 A°
Luz
ultravioleta: l <
4500 A° (invisible y muy energética)
- Fotón:
partícula de luz de acuerdo con la mo-derna concepción dual (onda/ partícula)
de las Ondas Electromagnéticas. Según Planck, la ener-gía transportada por un
fotón es E = hn , donde
h = 6.63*
10 -34 Js = cte de Planck.
- Campo
Eléctrico Inducido: CE generado por un
Campo Magnético variable. Las líneas de Campo Eléctrico son rotatorias (líneas de fuerza cerradas).
- Campo
Magnético Inducido
CM generado por un CE variable. Las líneas de
CM son rotatorias.
- Onda
Electromagnética
Propagación en el espacio de CE y CM
varia-bles debido a una sucesión de inducciones pro-venientes de cargas
eléctricas aceleradas.
Toda OEM es luz (visible o invisible)
1) Ley de
Coulomb
Dado el
siguiente diagrama:
Encuentre:
b) El
sentido de la fuerza eléctrica que actúa sobre Q2
R:
a)
b) Q2 es atraído por Q1. Luego, el sentido de F12 es hacia la
izquierda.
2) Campo
Eléctrico
Dado el siguiente arreglo de cargas:
Encuentre el campo eléctrico en el origen.
R:
El vector tiene una magnitud de 160 200 N/C y una
orientación de 69.4° bajo la horizontal.
3) Diferencia de
Potencial
Referencia:
nube liberando un rayo * I ~ 100 KA * Rapidez
del rayo (de los electrones): ~ c/2 |
4) Corriente Eléctrica
Por un
conductor cilíndrico muy largo se observa que en medio segundo pasa 0.1 mC de carga en un área igual a 1 cm2.
Encuentre la
corriente que circula por el conductor si r = 5 cm.
R:
5) Resistencia Eléctrica
Un cilindro
metálico de 50 cm de largo y 2 cm de radio presenta una corriente de 3 mA
cuando la diferencia de potencial entre sus extremos es de 1.5 V. Encuentre la
resistividad del cilindro.
R:
6) FEM
a) Una
batería de 9V presenta una diferencia de po-tencial entre sus terminales de
8.5V cuando la corriente circulante es de 0.2A. Encuentre la resistencia
interna de la batería.
b) Una
resistencia emite 4.8 calorías en 5 segundos cuando la corriente circulante es
de 0.2 A. Encuentre la diferencia de potencial entre sus extremos y el valor de
la resistencia.
R:
a)
V = e - Ri I
Ri
= (e -
V) / I = (9 - 8.5) / 0.2 » 2.5 W
b) Calor
= 4.8 calorías = 20 J
Potencia
= Calor / t = 20/ 5 = 4 Watt
Luego:
V I = 4 Þ V
= 4/ 0.2 = 20 Volt
Además RI2
= 4 Þ R = 4/ 0.22 = 100 W
7)
Circuitos
Encuentre
la resistencia equivalente en el siguiente circuito:
El
circuito se reduce al siguiente:
8) Campo Magnético
a) Un cable de prueba de 10 cm de largo experi-menta
una fuerza de 0.3 N cuando la corriente cir-culante es de 0.2 A, de acuerdo con
el siguiente diagrama:
Encuentre la intensidad y orientación del campo magnético y la
orientación de la fuerza sobre el cable.
b) Un cable de alta tensión transporta 10 A. Encuentre
la intensidad del campo magnético en una casa ubicada a 50 m del cable.
R:
a)
Orientación de :
de + a -, es decir:
.
Orientación de :
de acuerdo con la Regla de la Mano Derecha,
apunta hacia atrás
.
b) B = 2* 10-7 I / r
= 2*10 -7 * 10 / 50 » 4*10 -8 T
9) Interacciones Electromagnéticas
a) Un protón está moviéndose con MCU en una zona
dominada por un CM uniforme B = 2 T. El radio de la órbita es de 50 cm.
Encuentre la rapidez de traslación.
b) Dadas las mismas condiciones anteriores y si el CM
en el selector de velocidades es de 0.4 mT, encuentre el valor del Campo
Eléctrico.
R:
a) MCU Þ Fcent
= Fmag
mv2 / r = qvb
v = qBr/m = 1.6*10-19 * 2* 0.5/(1.7*10-27)
v »
9.41*107 m/s
b) v = E/ B Þ E
= vB = 94.1*106 *(0.4*10-3)
E » 37 640 N/C
Encuentre:
a) La lectura del voltímetro
b) La corriente inducida por la resistencia
R:
a) El campo magnético varía a una razón de
x = 5/ 10 = 0.5 T/ s
Luego, el flujo varía a una razón de
x * A = x * 0.152
Es decir, e = 0.5* 0.152 = 11.3 mV
b) R = V/ I Þ I = V / R = 11.3 / 2
I = 5.7 mA
11) Corriente Alterna
Dado el
siguiente circuito de corriente alterna:
Encuentre:
a) La impedancia del circuito si w = 4 rad/s
b) La frecuencia (Hz) en la fuente de CA que maximiza
la corriente circulante si XR y XC permanecen
constantes (imagine que son independientes de w)
R:
12) OEM
l
1)
Encuentre la fuerza con la que el protón atrae al electrón en el átomo de
hidrógeno, sabiendo que el tamaño del átomo de hidrógeno es de 1.06 A°.
R: F =
8.2* 10-8 N
2) Dado el
siguiente diagrama:
Encuentre el campo eléctrico en el punto P.
R: 150 750 N/C haciala izquierda.
3) En cierta zona el potencial eléctrico se comporta
de acuerdo con el gráfico de la derecha. Encuentre el campo eléctrico R: -2.8 N/C |
|
4) Encuentre la energía eléctrica almacenada por el
siguiente arreglo de tres cargas:
R: -0.32 J
5) Encuentre la resistencia equivalente en el siguiente circuito:
6) Por un cable muy largo circula una corriente de 15 A hacia
arriba y un electrón se mueve hacia la derecha a 3500 m/s, según el diagrama
de la derecha. Encuentre la fuerza magnética sobre el electrón. |
|
R: 2.4*10-21 N hacia abajo (q < 0)
7) Un rayo cósmico se acerca al Ecuador magnético (B= 100 mT) con una rapidez de 0.9c, de acuerdo
con el diagrama. Encuentre la fuerza sobre el rayo cósmico. R: 1.73*10-14 N, orientación: |
|
8) Suponga que en el Polo Sur, el campo mag-nético terrestre
(vertical) varía de acuerdo con el gráfico de la derecha. Justo en ese lugar, unos exploradores colocan una |
|
circunferencia de alambre de 400 m de radio con una
ampolleta óhmica de 1500 W. ¿Cuál es
el valor de la corriente inducida en el circuito?
R: 1.3 A
9) Un
transformador de CA
genera un voltaje RMS de salida de 50V cuando el voltaje RMS de entrada es de
220V. Sabiendo que NP = 1000, encuentre:
a) El número de espiras en el secundario
b) La
corriente en una bobina externa si XL = 100 W
R: a) 227
vueltas, b) 0.5 A
10) OEM
a) Encuentre la frecuencia de la luz infrarroja,
amarilla y ultravioleta.
b)
Encuentre la energía de un fotón ultravioleta.
R: a) Infrarroja: menor que 4.9*1014 Hz, amarilla » 5.7*1014 Hz, Ultravioleta: mayor que 6.7*1014 Hz
CAPÍTULO 3: Interacciones entre cargas eléctricas.
3.1 Ley
de Coulomb
La
fuerza electrostática que ejerce la carga "1" sobre la carga
"2" es:
[q] ® Coulomb
1 C = 6.25*1018 cargas elementales
e =
carga del protón = - [carga del electrón] = 1.6*10-19 C
K = 1 /
(4 p e) ® e = permitividad eléctrica del medio (normalmente el
medio es el vacío)
i) Si las cargas tienen signos opuestos, la fuerza
eléctrica será atractiva.
Si las cargas son del mismo signo, la fuerza será
repulsiva.
MODELO BÁSICO DEL ÁTOMO (Rutherford - Bohr)
- El átomo corresponde a un núcleo de carga +Ze (Z =
número atómico), formado por Z protones (cada uno de carga +e) y una cantidad
variable de neutrones (de carga nula).
- Alrededor del núcleo orbitan Z electrones (en un
átomo neutro)
PARTÍCULA |
SÍMBOLO |
CARGA, C |
MASA, Kg |
Protón |
p+ |
+1.6*10-19 |
1.673*10-27 |
Electrón |
e- |
-1.6*10-19 |
9.1095*10-31 |
Neutrón |
no |
0 |
1.675*10-27 |
r átomo ~ 10-11 - 10-10 m
r núcleo ~ 10-15 - 10-14 m
NOTA:
Para las partículas subatómicas, la fuerza predominante es la eléctrica. Por
ejemplo, para el electrón del átomo de hidrógeno:
FElec = 8.2*10-8 N
FGravit = 3.6*10-47 N
3.2 Energía Potencial Electrostática
3.2.3 Sistema de dos cargas
Para dos cargas qi y qj, la Energía Potencial originada por la interacción
eléctrica es:
3.2.2 Sistema de n cargas
Para tres cargas, y utilizando el resultado anterior,
se obtiene:
Observemos que la cantidad de términos de la sumatoria
es igual al total de combinaciones posibles, disponiendo de n elementos para
crear grupos conteniendo dos elementos. Es decir:
Si n = 3, la sumatoria contendrá tres términos:
3.3 Trabajo Eléctrico
3.3.1 Definición
Sea un sistema aislado formado por las cargas
puntuales qi y qj.
El trabajo necesario para crear el sistema
(qi, qj,) es igual al trabajo realizado en
contra de las fuerzas eléctricas para traer cuasiestáticamente cada carga desde
el infinito hasta el lugar correspondiente en el sistema (el resultado es
independiente de la trayectoria).
Matemáticamente:
Observemos que si el sistema es aislado:
- Traer la primera carga desde el infinito no requiere
trabajo
- Traer la segunda carga desde el infinito implica
"luchar" en contra de la interacción eléctrica que percibe la segunda
carga debido a la presencia de la primera.
NOTA
W = qi *
[ Potencial eléctrico generado por qj cuando r = r i j ]
Donde [ Potencial eléctrico generado por q i ] = K q i / r
(Más información en el capítulo 5)
1) Fuerza eléctrica
Dado el siguiente sistema:
¿Dónde debe ubicarse una tercera carga q3 =
-2*10-10 C, de modo que la fuerza recibida por q3 sea nula?
____________________
Por análisis vectorial, la carga debe colocarse entre
q1 y q2 :
Sólo allí se consigue que las fuerzas sean
antiparalelas.
Luego:
2) Arreglo de ocho cargas.
Xxxxxxx
3) Modelo de Bohr
Xxxxxxxx
EJERCICIOS
PROPUESTOS
1) (No incluidos)
4.1 Campo Eléctrico
4.1.1 Definición de Campo Eléctrico (CE)
El CE es una alteración del espacio que puede ser
percibida como una fuerza por cargas eléctricas no nulas. Luego, el CE se mapea
del siguiente modo:
Donde:
=
Campo Eléctrico en el punto
del espacio.
El CE se
mide en Newton/Coulomb
q = carga de prueba (C) ubicada en el punto .
Sea
positiva y de un pequeño valor
= Fuerza percibida por la carga de prueba
4.1.2 Líneas de Campo (o de Fuerza)
xxxxxxx
4.2 Ley de Gauss
4.2.1 Explicación de la Ley de Gauss
El flujo en una superficie cerrada "S" de
cualquier función ""
dependiente de la posición es:
Gauss descubrió que si es el Campo Eléctrico, el flujo siempre
resulta ser igual a:
Donde:
Qenc = Carga encerrada por la superficie S
e = permeabilidad eléctrica sobre S
(recordemos
que Kel = 1/(4p e ) )
Luego, la Ley
de Gauss puede escribirse de dos formas:
i) Forma Integral:
Es decir:
Versión integral de la Ley de Gauss
ii) Forma Diferencial
Utilizando el Teorema de Green en tres dimensiones:
Versión diferencial de la Ley de Gauss
(Primera Ecuación de Maxwell)
4.2.2
Superficies Gaussianas (SG)
Se define como "Superficie Gaussiana" a
aquella superficie donde se calcula el flujo de de modo que se cumplen las siguientes dos
condiciones:
i) | | es constante sobre la SG
ii) es paralelo o antiparalelo a ds (es
decir:
)
4.2.3 Casos especiales de la Ley de Gauss
Los casos especiales más recurrentes son:
i) 1D: simetría cilíndrica (ej: axón neuronal)
Distribución lineal de carga, l = cte y l ® ¥
Nota: [ l ® ¥ ] « [ r << l ]
ii) 2D: simetría plana (ej: electrocitos de una
anguila)
Distribución areal de carga, s = cte y s ® ¥
iii) 3D: Simetría esférica (ej: célula idealizada)
Distribución tridimensional de carga y r = cte (medio no conductor)
NOTA: en un sólido conductor la carga reside en la
superficie (corriente eléctrica = 0 «
"electrostática"). Luego, para un sólido conductor:
LEY DE GAUSS
4.3 Dipolo eléctrico
xxxxxx
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Cálculo de E
neto
Dado el siguiente arreglo de cargas:
Rótulo |
Carga, mC |
Ubicación, m |
q1 |
- 5 |
(0, 0, 0) |
q2 |
5 |
(0.4, 0.3, 0) |
q3 |
5 |
(0.4, 0.3, 0.3) |
Encuentre el
CE en
R:
* Carga q1
El CE generado por q1 < 0 en el punto apunta en el sentido
Por otro lado:
*Carga q2
El CE generado por q2 > 0 en el punto apunta en el sentido
Por otro lado:
* Carga q3
El CE generado por q3 > 0 en el punto apunta en la
siguiente dirección:
Por otro lado:
Luego:
Finalmente:
2) Definición integral de
Xxxxxxxxxxxxxxxxxx
3) Ley de Gauss
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
1) Dos cargas
puntuales q1 = 3 mC y q2 = - 5 mC están separadas
por una distancia de 50 cm. ¿Dónde debe ubicarse una carga q3 = - 0.2 mC de modo que el CE
en el punto medio del sistema original sea igual a cero?
R:
2) Dado el siguiente arreglo de cargas:
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
CAPÍTULO
5: Potencial Electrostático
(No incluido)
CAPÍTULO 6: Condensadores
y Dieléctricos
(No incluido)
CAPÍTULO 7: Circuitos
Eléctricos en Corriente Continua (CC)
(No incluido)
PARTE 3: CAMPO MAGNÉTICO
CAPÍTULO 8: Fuerza Magnética y Campo Magnético
8.1 Ley de Lorentz
8.1.1 Introducción
En el
modelo clásico del magnetismo, éste es generado por carga en movimiento. Luego,
toda la materia presenta al menos dos procesos que generan campo magnético:
- El movimiento orbital de los electrones en torno del
núcleo atómico (Momentum Angular Orbital)
- La rotación de los electrones en torno de su propio
eje (“spin”)
Estos
movimientos suelen tener direcciones aleatorias, por lo que el efecto neto
corresponde a ausencia de campo magnético en la mayoría de los materiales. Sin
embargo, a veces los movimientos presentan direcciones privilegiadas en ciertas
zonas o “Dominios Magnéticos”, lo que permite explicar el magnetismo presente
en los “imanes”:
NOTAS:
i) El Campo
Magnético “ B”
aflora desde el polo (+) o “Norte Magnético” e ingresa al polo (-) o
“Sur Magnético”:
ii)
El magnetismo siempre se presenta dipolarmente (no existen los “monopolos
magnéticos”), por lo que el campo magnético es “rotacional”:
iii) La polaridad del dipolo magnético “ m ” se determina mediante la “Regla del
Tirabuzón”:
iv) La polaridad del Campo Magnético generado por una
carga en movimiento también se determina mediante la “Regla del tirabuzón”:
v) Polaridad del Campo Magnético generado por una
corriente eléctrica ( = carga en movimiento):
8.1.2 Vector Campo Magnético
i) Vector
=
Vector Densidad de Flujo Magnético = Campo de Inducción Magnética
[ ] = [ Flujo Magnético ] / [ Area ]
[ ] = 1
Wb / m2 = 1 N / (A*m) = 1 Tessla = 104 Gauss
ii) Vector
=
Vector Intensidad de Flujo Magnético
Relación importante:
Donde m = permeabilidad magnética
NOTA
Dado un imán (o magneto) específico:
- B caracteriza el efecto del imán en el medio (al
cambiar el imán de medio, el campo B
también cambiará)
- H
caracteriza al imán (no depende del medio)
iii) Constante Magnética “Kmag”
Para el campo eléctrico:
Así mismo, para el campo magnético:
En
el vacío se cumple que:
mo = 4p*10-7 N/A2
8.1.3 Ley de Lorentz
Sea una carga q moviéndose con una velocidad v en un medio influenciado por un campo magnético ::
La fuerza magnética sobre la carga q es igual a:
* Fuerza de Lorentz: Si una carga q se mueve en una zona influenciada por
los campos ,
la fuerza neta será:
NOTAS
i) La
corriente eléctrica también corresponde a carga en movimiento, razón por la
cual los cables por los que circula la corriente experimentarán una fuerza
magnética igual a la sumatoria de la fuerza magnética sobre todas las cargas
que tiene circulando en su interior:
ii) Observemos que:
-
La carga en movimiento genera campo magnético
-
La carga en movimiento percibe la presencia de
un campo magnético en la forma de una fuerza qvXB
8.1.4 Fuerza magnética sobre un cable
Sabemos que
Luego, para una carga infinitesimal que viaja dentro
del cable se cumplirá que:
Observemos lo siguiente:
Finalmente, la fuerza magnética sobre el segmento dl de un
cable es:
i) Fuerza neta:
iii) Si además, B = cte sobre el cable de longitud
total l:
iv) Torque sobre una espira
(Principio de funcionamiento de los motores
eléctricos)
Sea la siguiente espira (indeformable) por la que
circula corriente:
Fuerzas sobre la espira:
8.2 Ley de Biot Savart
8.2.1 Campo Magnético generado por una carga puntual
en movimiento.
8.2.2 Ley de Biot Savart
El Campo Magnético generado por una corriente 1D es:
8.2.3
Campo Magnético generado por una corriente superficial (2D)
8.2.4
Campo Magnético generado por una corriente 3D
8.3 Ley de Ampère
La circulación
de un campo vectorial u a lo largo de la trayectoria cerrada G se define como:
Ampère descubrió que:
Observemos
que “ ienc” corresponde a la suma de todas las
corrientes que circulan por la sección transversal definida por G.
Además:
Para el caso de un cable 1D por el que circula una corriente
i:
Es
decir:
Finalmente:
El resultado
corresponde al Campo Magnético generado por una distribución de corriente con
simetría cilíndrica (long à ¥ )
8.4 Energía Magnética
Sabemos que
cuando una espira por la que circula una corriente es influenciada por la
presencia de un Campo Magnético, aparecerá un torque que provocará la rotación
de ésta hasta que el torque desaparezca. El trabajo realizado por un torque
cuando el ángulo pasa desde q1 a q2 es:
Dado que
Se tendrá que:
dW = t dq = m B Senq dq = d(- m B Cosq)
Por lo tanto:
Por la equivalencia entre trabajo y energía,
tendremos que la energía potencial magnética será:
Si define la dirección Z:
Umag = -m z B
Luego,
la mínima energía magnética (torque = 0) se consigue cuando la espira queda
perpendicular al Campo Magnético:
Y la energía magnética máxima (torque
máximo) corresponde al valor que se obtiene cuando la espira queda “recostada”
sobre el Campo Magnético:
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
Fuerza Magnética entre dos cargas
Dado el siguiente esquema:
Xxxxxxxxxxxxxxxx
2) Espectrógrafo de masas
El siguiente
esquema muestra el funcionamiento de un espectrógrafo de masas:
xxxx
3) Dado el siguiente diagrama:
xxxxxxxxxxxxx
4) Ley de Ampère
xxxxxxxxxxxxxxx
1) Regla de la mano Derecha
La siguiente
fotografía corresponde a la trayectoria dejada por diversas partículas en una
cámara de burbujas:
Encuentre los signos de las cargas de cada partícula.
R:
A = (-); B =
(-); C = (+); D = (+); E = Neutra
2) Fuerza Magnética
Dado el siguiente esquema
Encuentre la fuerza magnética sobre q.
R:
3) Ley de Ampère
Por el
siguiente plano infinito circula una corriente superficial Js:
Encuentre el campo magnético generado por el plano
(“distribución de corriente con simetría plana”) en el punto P.
AYUDA:
4) Dipolo Magnético
La siguiente
espira circular se encuentra inmersa en una zona influenciada por un campo
magnético constante.
Encuentre:
a) El momento dipolar magnético
b) La energía magnética
c) El torque
R:
5) Cálculo de B
Dada la siguiente carga en movimiento:
Encuentre el campo magnético en el punto P.
R:
CAPÍTULO 9: Inducción
Electromagnética
(No incluido)
(No incluido)
PARTE 4: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Capítulo
11: Propagación de la Luz
TIPO DE OEM |
LONG DE ONDA |
Radio |
1 - 104 m |
TV |
VHF: 3 - 5 cm UHF: 1 - 3 cm |
Visible |
Violeta: 4*10-7 m Rojo: 7*10-7 m |
Infrarroja |
> 7*10-7 m |
Ultravioleta |
< 4*10-7 m |
Rayos X |
~ 10-14 m |
Rayos g |
~ 10-18 m |
EJERCICIOS
8) Encuentre una expresión para el número de onda de una OEM
propagándose en un dieléctrico con roce donde (electrones ligados elásticamente)
R:
Sabemos que la ecuación diferencial para el movimiento
de un electrón será:
Por otro lado, si E se
propaga a lo largo del eje Z:
Aplicando el rotor:
En este caso:
Por lo anterior, la
ecuación diferencial se puede expresar como:
ECUACIONES
DE MAXWELL
12.1 Conceptos Previos
12.1.1 Algunas propiedades del producto entre vectores
12.1.2 Operador Nabla (pseudovector)
* Coordenadas Cartesinas ® X Y Z
* Coordenadas esféricas ® r q f
* Coordenadas Cilíndricas ® r f Z
12.1.3 Propiedades del operador nabla
12.1.4 Formas de derivar con :
* Coordenadas Cartesianas
* Coordenadas Esféricas
* Coordenadas Cilíndricas
12.1.5 Teoremas de Green y de Stockes
*
Ej: Si el dominio de integración fuese una esfera:
12.2 Ecuación diferencial de una onda viajera
Sabemos que una función de onda 1D se puede escribir
como:
y (x, t) = f (k x - w t) = f ( g (x, t) )
Luego:
Por otro lado:
Por lo tanto:
w / k tiene unidades de rapidez Þ w / k º c
Finalmente:
- En un mundo con tres dimensiones espaciales y una
temporal:
O también:
12.3 Deducción de las Ecuaciones de Maxwell
12.3.1 Ley de Gauss Eléctrica
Sabemos que:
Es decir:
Utilizando el Teorema de Green:
Por lo tanto:
NOTA: Para una carga puntual q1 y
utilizando como superficie gaussiana una esfera:
Luego:
Una carga q2 percibe el
campo E como una fuerza F:
\ La Ley de Gauss incluye la Ley de Coulomb.
12.3.2 Ley de Gauss magnética
rmagn siempre es cero (dentro de lo que se sabe) « No existen monopolos magnéticos
Es decir:
O también:
12.3.3 Ley de Faraday
xx
12.3.4 Ley de Ampère - Maxwell
12.3.5 Ecuaciones de Maxwell
Resumiendo, las cuatro ecuaciones que resumen todo el
conocimiento electromagnético son:
NOTAS:
e = permitividad eléctrica del medio
En el
vacío: e ® eo
m = permeabilidad magnética del medio
En el
vacío: m ® mo (normalmente m » mo )
Las Ecuaciones de Maxwell nos plantean las exigencias
que deben cumplir los Campos "ElectroMagnéticos". Observemos que en
las ecuaciones (iii) y (iv) estos campos aparecen "acoplados"
("BootStrap")
* Detalle importante
Si al resolver las Ecuaciones de Maxwell llegásemos a
concluir que ,
tendríamos que el campo
corresponde a una onda viajera propagándose
con una rapidez "c ", y en ese caso:
i) ¿Cuál es el medio que distorsiona el campo al
propagarse como onda?
R: Llamémosle "éter"
(NOTA: Michelson y Morley demostraron que el éter no
existe)
ii) ¿La rapidez "c " será una constante
conocida?
- ¿Y si "c" fuera numéricamente igual a la
rapidez de la luz?
- En todo caso, la rapidez de propagación de toda
onda tiene que depender de la "elasticidad" del medio (¿o no?)
(NOTA: Las OEM distorsionan el VACÍO mientras viajan)
12.4 Resolución de las Ecuaciones de Maxwell en el
vacío
"En el vacío"
12.4.1 Campo
Ley de Faraday:
Respecto del término de la izquierda:
Finalmente:
Acabamos de descubrir que el campo es una onda viajera (que se propaga en el
vacío) con una rapidez igual a:
... Y que corresponde a la rapidez de la luz en el
vacío.
12.4.2 Campo
En este caso:
Es decir:
también se propaga en el vacío a la rapidez de
la luz, Ahora cabe preguntarse si la luz corresponde a un tipo especial de
"Onda Electro-Magnética".
- La luz
("visible", según los seres humanos) corresponde a una OEM que
distorsiona el vacío y cuya frecuencia está en el rango de los
4.9*1014
< n < 6.7*1014
Hz
12.4.3 Ondas viajeras complejas
Dado que E y B satisfacen la ecuación de
una onda viajera:
(entre
otras posibles soluciones)
Y la (primera) ligazón es:
-
Sabiendo que:
Se
tendrá que los campos E y B se podrán escribir como:
... siempre que se recuerde que el campo con el que
estamos trabajando corresponde a la parte imaginaria del campo complejo (aunque
equivalentemente podríamos estar trabajando con la parte real: )
- Para el caso de los campos complejos:
- Observemos que:
Y también:
12.4.4 Ligazón entre
12.4.4.1 en función de
- Ley de Faraday:
- Pero
- Luego:
De modo que la ligazón es:
NOTA:
Demuestre que en el vacío:
12.4.4.2
en función de
A
partir de la última ecuación:
De modo
que la ligazón es:
12.4.4.3 Ondas ElectroMagnéticas
xx
12.4.4.4 Orientación de los campos
xx
POLARIZACIÓN - Lineal: No hay rotación. Sólo hay vibración a lo largo de una
dirección específica. - Circular: E y H describen una circunferencia - Elíptica: E y H describen una elipse |
12.5 Solución de la Ecuación de Onda Viajera
12.5.1 Solución 1D
xx
12.5.2 Ondas planas (3D)
xx
12.5.3 Ondas Cilíndricas (3D)
xx
12.5.4 Ondas esféricas (3D)
xx
12.6 Energía Electromagnética
12.6.1 Densidad de energía
xx
xx
12.6.3 Vector de Poynting
xx
12.6.4 Intensidad (o irradiancia) de una OEM
xx
12.7 Conservación de la carga eléctrica
xx
12.8 Interferencia
12.8.1 Superposición de dos ondas planas linealmente
polarizadas.
xx
12.8.2 Tipos de Interferencia
xx
I
12.8.3 Sobre la diferencia de fase d
xx
12.9 Polarización
12.9.1 Polarización Lineal
xx
12.9.2
Polarización Circular
xx
12.9.3 Polarización Elíptica
En este caso el campo eléctrico describe
una elipse durante su rotación.
Ej:
Luego:
12.9.4 Ley de Malus
Los polarizadores quedan caracterizados
por el versor que identifica el eje de transmisión de la
OEM:
Observemos que si el vector incidente forma un ángulo q con
, el campo eléctrico transmitido será
Luego:
- Intensidad incidente:
- Intensidad transmitida:
Ley de Malus:
NOTAS:
i) Si la onda incidente es luz "normal" (=
luz "no polarizada" o con todas las polarizaciones posibles) la mitad de la luz incidente será | | a y la otra mitad será ^ a
.
Luego:
ii) La mayor parte de los sensores de "luz",
incluyendo el ojo humano, son más sensibles a que a
.
Además
Eo » 120 p Ho
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Una OEM amarilla (n =
5.9*1014 Hz) cuyo vector número de onda en el vacío es =
(10.4, 2.08, 6.24)*106 m-1, ingresa a un medio cristalino (n = 1.2, m = 3.7 p *10-7) con un ángulo de incidencia de 0°. Encuentre:
a) La fase de la OEM dentro del medio cristalino
b) La intensidad de la OEM dentro del medio
cristalino, sabiendo que el valor máximo del campo magnético es de 50 mT.
R:
a) Cuando una OEM cambia de medio, la frecuencia
permanece constante, pero la longitud de onda no.
Luego, en el cristal:
b)
2) xxxxxxxxxxxx
3) xxxxxxxxxxxx
4) xxxxxxxxxxx
5)
Ondas esféricas en el vacío.
PROSPECCIÓN
ELÉCTRICA
GeoMod PE Gold - 1 | GeoMod PE Gold - Resistividad | GeoMod PE Gold - Efecto IP
A1.1 Prospección Eléctrica
A1.1.1 Fundamentos
* La prospección eléctrica se dedica básicamente a mapear la diferencia de potencial del terreno, ya sea en una situación pasiva ("autopotencial") o con un estímulo externo (inyección de corriente).
* A partir de la diferencia de potencial se deducen las propiedades eléctricas del terreno: resistividad, polarizabilidad, etc.
*Aplicaciones:
- Obras civiles
- Caracterización edafológica del terreno (correlaciones entre propiedades edafológicas y geoeléctricas)
- Detección y delimitación de cuerpos mineralizados (cobre, hierro, etc.)
- Mapeo 3D de agua subterránea
- Caracterización de la corrosividad del terreno (ductos)
- Estudio geomecánico cualitativo (roca sana, fracturada, etc.)
A1.1.2 Diferencia de potencial
Para un suelo de resistividad r constante (isótropo y homogéneo) se tendrá que la diferencia de potencial entre los electrodos MN será igual a:
A1.2 Variables a mapear
A1.2.1 Resistividad aparente
La expresión anterior nos permite obtener la resistividad aparente del terreno:
A1.2.2 Polarizabilidad (Efecto IP o "Induced Polarization")
La cargabilidad del terreno cuantifica la presencia de "mini-condensadores" y se calcula del siguiente modo:
- En el dominio del tiempo:
Mt = V1 /V0
Donde
V1 = Voltaje del terreno "justo después" de cortar la corriente
V0 = Voltaje del terreno mientras la corriente era constante
- En el dominio de la frecuencia:
MF = (z - r) / z
Donde:
z = resistividad aparente a alta frecuencia
Rho = resistividad aparente cuando la corriente es continua
En el modelo más utilizado, Mt y MF son directa-mente proporcionales.
A1.3 Arreglos electródicos
A1.3.1 Arreglo Schlumberger (sondaje 1D)
(No incluido)
A1.3.2 Arreglo Dipolo Dipolo (corte transversal 2D)
(No incluido)
EJERCICIOS
1) Diferencia de Potencial
2) xxx
3) Encuentre la constante K para el arreglo dipolo dipolo.
xxx
4) En cierto terreno se piensa que existe un batolito con-ductor sin afloramiento. Según los geólogos el batolito puede ser cuproso (Rho = 30 Ohm*m) o de onix (Rho = 1500 Ohm*m). Para detectarlo rápidamente se realiza el arreglo dipolo dipolo de acuerdo con el siguiente diagrama:
xxx
5) Se realiza una prospección Schlumberger, donde MN = 1m (cte) y se aumenta la abertura dipolar AB hasta los 2000 m, obteniéndose el siguiente gráfico bilogarítmico de Rho v/s AB/2:
(No incluido)
ANEXO
2:
PROSPECCIÓN
MAGNÉTICA
A2.1 Fenómenos magnéticos
El magnetismo tuvo sus inicios en 1819 cuando el físico danés Hans Christian Oersted (1777-1851) descubrió accidentalmente durante una conferencia que una corriente eléctrica es capaz de desviar la aguja de una brújula. Sin embargo, en 1802 el italiano Gian Dominico Romognosi había descubierto el mismo fenómeno, pero lo publicó en el periódico "Gazzeta de Trentino" y no en una revista científica.Según el modelo clásico, el magnetismo espontáneo de la materia surge de los movimientos de traslación y rotación de los electrones, los que se agrupan en "Dominios Magnéticos".
A2.1.1 Campo Magnético
El campo indica cuantas líneas de flujo magnético pasan por unidad de área (depende del medio: ferromagnético, paramagnético, etc.)
Relación Importante:
Esto quiere decir que el campo es un campo "normalizado" (su valor es independiente del medio).
A2.1.2 Constantes y unidades
- Constante magnética:
Km = mo / (4p) = 10-7 Tm/A (exactamente)
El Gauss es la unidad CGS de
- Unidad de Prospección magnética.
En Prospección Magnética se suele medir el campo
a cielo abierto (m » mo). En este caso, la
unidad de
es "g"
1 g = 10- 9 T = 1 nT
A2.1.3
Equivalencia numérica entre
Si nos olvidamos de las unidades y sabiendo que a cielo abierto m » m o, se tendrá que:
H = 795774.7*B
Es decir, si un campo dado expresado en unidades de B es igual a "uno",
ese mismo campo expresado en unidades de H será igual a ± "ochocientos
mil".
A2.1.4 Referencias
- Imán potente de laboratorio: 2.5 T
- Imán superconductor: 25 T
- Máximo PEM obtenido con un electroimán no militar durante
un par de milisegundos: 120 T
- Magnetismo terrestre: 50 mT .
ü
En los Polos: 60 mT
ü
En el Ecuador magnético: 30 mT
- Estrella de neutrones: 100 MT
A2.2. Campo Magnético Terrestre (CMT)
A2.2.1 Origen del CMT
El calor del núcleo (T= 4500°C,
r = 16 Ton/m3)
provoca movimientos convectivos en el manto líquido. Estos movimientos
mantienen en rotación el núcleo sólido interno, lo que
genera carga en movimiento o corriente eléctrica en el núcleo
líquido. Esta corriente es la responsable del CMT, el cual presenta
un patrón aproximadamente constante en el tiempo. Sin embargo, vista
con detalle, la rotación del núcleo es definitivamente irregular.
Por esta razón, en Prospección Magnética se cuenta con
métodos para mapear el CM "al mismo tiempo". Además,
la rotación del núcleo se va frenando debido a razones entrópicas.
En los últimos 300 años el CMT ha disminuído su intensidad
en un 15% y alrededor del siglo XL la rotación se invertirá
y el Norte magnético coincidirá aproximadamente con el Norte
Geográfico.
A2.2.2 Anomalías Magnéticas
xx
A2.3 Medición del CM
A2.3.1 Magnetómetro de Inducción
xx
A2.3.2 Balanza de Torsión
xx
A2.4 Prospección Magnética
xx
A2.4.1 Aplicaciones
xx
A2.4.2 Método Básico
xx
EJERCICIOS
1) Magnetómetro basado en el efecto ciclotrón
xx
2) Balanza de torsión
xx
3) Se tiene un magnetómetro de inducción magnética de
0.3 m2 de área y rotando a 5 rps, de acuerdo con el siguiente diagrama:
xx
4) Se mide el vector T en cierto lugar, obteniéndose el siguiente
valor
xx
5) La siguiente tabla muestra los valores del vector T residual
en cada nodo de la grilla especificada a continuación:
xx
ANEXO 3:
MEMBRANAS BIOLÓGICAS
A3.1 Fundamentos
- En una Membrana Biológica (MB) se puede distinguir una bicapa lípida
a modo de "ladrillo" y proteínas que actúan como
poros, los que pueden ser activos ("bombas moleculares") y pasivos:
- Una célula
nerviosa puede funcionar correcta-mente si se encuentra inmersa en la siguiente
solución ("suero fisiológico"):
SUSTANCIA |
Concentración,
mMol/ l |
Na+ |
145 |
K+ |
5 |
Cl - |
125 |
Otros iones + |
5 |
Otros iones - |
30 |
En reposo, el interior de una célula nerviosa presenta
estos mismos iones, pero en concentraciones distintas:
SUSTANCIA |
Concentración,
mMol/ l |
Na+ |
15 |
K+ |
150 |
Cl - |
9 |
Otros iones - |
156 |
A3.2 Flujo Mecánico
A3.2.1 Flujo debido a una diferencia de presión
Una sustancia puede
atravesar una MB debido a la diferencia de presiones entre el interior y el
exterior:
A3.2.2 Flujo debido a la presión osmótica
Si existe una
diferencia de concentraciones "DC" entre el interior y el exterior, estas tenderán
a igualarse, por lo que se establecerá un flujo desde la zona de mayor
concentración a la de menor concentración, cumpliéndose que:
J = - K DC,
K = cte
Para
una MB perfecta:
K = LpRT, R = cte universal de los gases
T = Temperatura absoluta
La presión osmótica se define como:
Posm = RTDC
A3.3 Difusión de iones
A3.3.1 Ley de Fick
El flujo de iones 1D (eje x) debido a una diferencia
de concentraciones es:
A3.3.2 Iones en un
campo eléctrico
El flujo de iones 1D (eje x) debido a un campo
eléctrico E es:
A3.3.3 Relación de
Nernst:
Sea un flujo de iones positivos (Q = +e)
circulando por una MB. El flujo neto será igual a:
Luego, la diferencia de potencial capaz de
detener el flujo de iones será:
A3.4 Circuitos
eléctricos equivalentes
Una MB presenta fundamentalmente
pro-piedades resistivas y capacitivas. En un modelo simple, el circuito
eléctrico que puede repre-sentar a la MB es:
A3.4.1 Resistencia de una MB cilíndrica
A3.4.2 Capacidad de una MB cilíndrica
C = e A / l
De acuerdo
con la figura anterior:
Para el
poro:
A3.5 Conducción de impulsos nerviosos
A3.5.1 Potencial de reposo de un axón
El interior de un axón en reposo eléctrico
(con los canales de iones cerrados) es negativo respecto del exterior. El
potencial de Nernst se puede calcular utilizando los siguientes valores de
referencia:
Luego:
A3.5.2 Potencial de acción en un axón cilíndrico
Una
perturbación en el axón se propaga espacial-mente de acuerdo con un decaimiento
exponencial:
Si un
estímulo Vo consigue superar cierto voltaje umbral
Vo, se abrirán los canales de iones positivos y se transmitirá un
pulso electroquímico conocido como "potencial de acción". En este
caso el interior del axón se volverá positivo respecto del exterior.
El potencial de
acción resulta ser:
A3.5.3 Activación cerebral
El potencial
de acción viaja a unos 10 m/s hasta llegar al cuerpo celular donde se liberan
neurotrans-misores. La recepción de neurotransmisores provenientes desde
distintas neuronas implica un "input ponderado total" en la neurona
post-sináptica:
La neurona
post-sináptica o receptora procesará el input I. En un modelo clásico, la
actividad de la neurona post-sináptica será:
El efecto global
corresponderá a un pequeño cluster de neuronas emitiendo "destellos"
o actividad eléctrica.
EJERCICIOS
1)
Dentro de una campana de vacío se está probando un riñón artificial por el que
circula suero fisiológico debido a diferencia de presiones y de
concentraciones. El riñón artificial se caracteriza por mantener su presión
interior constante e igual a 1 atm. Cuando la presión externa baja a 0.8 atm,
se
consigue detener el
flujo de sodio. Encuentre la con-centración de sodio en el interior del riñón
artificial.
R:
Veamos:
Por
otro lado:
2) Encuentre la diferencia de potencial que consigue detener un flujo de iones
sodio (Q = +e) en una MB.
R:
3) Encuentre cómo se atenúa espacialmente una señal de voltaje en
un axón cilíndrico
R:
4) Dada
la siguiente Red Neuronal:
Encuentre la actividad de la neurona 4, sabiendo que:
S1 = 0.5
S2 = 0.9
w13 = 0.3
w23 = 0.7
w34 = 0.5
R:
Input de la neurona 3:
Output de la neurona 3:
Input de la neurona 4:
ANEXO 4:
¿PARA QUÉ ESTUDIAR FÍSICA?
Sir Ernest Rutherford contaba la siguiente
anécdota:
"Hace algún tiempo recibí la llamada de
un colega que estaba a punto de evaluar a un alumno con una nota uno en
Mecánica de Fluídos, siendo que el estudiante alegaba insistentemente que
merecía un diez. Yo fui llamado a participar de árbitro.
La pregunta de la prueba decía: demuestre
que es posible medir la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro.
La respuesta esperada era:
El estudiante había respondido: se lleva el
barómetro a la azotea y se le ata una cuerda. Se descuelga el barómetro y se
marca la cuerda. La distancia entre un extremo de la cuerda y la marca
corresponde a la altura del edificio.
Bueno... la respuesta era correcta, pero
no reflejaba necesariamente el verdadero nivel del alumno. ¿Y si él no sabía
nada de Mecánica de Fluídos?
Le di otra oportunidad con la condición de
que esta vez demostrara sus conocimientos de Física.
Esta vez el alumno respondió: se suelta el
barómetro desde la azotea y se mide el tiempo que demora en caer. Luego, se
calcula la distancia recorrida sabiendo que
.
Nuevamente la respuesta era correcta. Esta
vez mi colega lo evaluó, muy a su pesar,
con un diez.
Tras
abandonar mi despacho, alcancé al estudiante y le pregunté si era capaz de
formular otras respuestas. Bueno, respondió, hay muchas maneras. Por ejemplo:
* Se mide la
sombra del barómetro y la del edificio. Luego se despeja la altura utilizando
una simple proporción.
* Otra
forma: se sube por las escaleras y se marca en el muro la altura del barómetro
de manera recursiva. El número de marcas multiplicado por la altura del
barómetro es igual a la altura del edificio.
* Otra
forma: se ata el barómetro a una cuerda. Se va a la azotea y se hace oscilar
como un péndulo simple. Luego, se calcula la altura del edificio sabiendo que
el periodo de un péndulo simple es .
*
Seguramente el mejor método sea tomar el barómetro e ir donde el Conserje y
decirle: Si usted me dice la altura del edificio, yo le doy este barómetro...
En ese momento lo interrumpí y le pregunté
si no sabía la respuesta basada en Mecánica de Fluídos: .
El respondió:
"Claro que la conozco, pero no corresponde colocarla en la prueba, porque durante todos
estos años mis profesores de Física se han esforzado en enseñarme a pensar
con mis propias pautas mentales".
El estudiante se llamaba Niels Bohr
y fue el primer científico en proponer un modelo atómico con variables físicas
cuantizadas... porque había aprendido a pensar con sus propias pautas
mentales.