Análisis de Fourier
Estimados señores
Me encuentro realizando un curso de Geofísica
Cuántica en la Universidad y quisiera saber si cuentan con
información sobre el Teorema de Fourier (...) Ojalá me puedan
ayudar.
Atte: Rolando Tapia.
1) Bases vectoriales ortonormales 2D
Cualquier punto del espacio 2D puede escribirse como una combinación
lineal de vectores ortonormales, donde "ortonormal" significa
de norma o módulo uno y mutuamente perpendiculares. Por ejemplo,
las siguientes bases A y B son válidas:
El Teorema de Fourier es simplemente una generalización de estas ideas cuando los vectores base son funciones ortonormales. Pero primero debemos entender cómo se calcula el producto interno, punto o escalar entre dos funciones matemáticas.
2) Producto interno entre funciones
El producto interno entre dos funciones f(x) y g(x) en el intervalo [ - L, + L ] del dominio, se define del siguiente modo:
Esto es todo lo que se necesita para poder escribir una función como una combinación lineal de funciones base ortonormales.
COROLARIOS
i) El módulo de f(x) será igual a:
ii) Dos funciones serán "perpendiculares" si < f | g > = 0
iii) Para una base ortonormal de funciones en el dominio [ - L, + L ] debe cumplirse que
3) Teorema de Fourier
Así como existen bases vectoriales que cumplen con la condición 
, ¿Existirán conjuntos de funciones matemáticas que cumplan con la misma condición?
Sin entrar en detalles, las siguientes funciones cumplen con la condición de ortonormalidad, ya sea de modo directo o indirecto:
- Polinomios de Hermite
- Funciones de Bessel
- Armónicos Seno y Coseno, etc.
El Teorema de Fourier afirma que cualquier función matemática "bien comportada" puede escribirse como una combinación lineal de funciones base ortonormales.
Las funciones base escogidas por Fourier en el intervalo [ - L, + L ] del dominio son:
NOTA: Es un ejercicio muy útil comprobar que los elementos de la base de Fourier son ortonormales en el intervalo [ - L, + L ]. Por ejemplo:
